\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{graphicx} \usepackage{subfigure} \usepackage{a4wide} \usepackage{esvect} \usepackage{pstricks} \usepackage{pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{multicol,epsf} \usepackage{ae,aecompl} \usepackage{helvet} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \usepackage{bbm} \usepackage{ifthen} \usepackage[mathcal]{euscript} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{hyperref} \definecolor{linkcolor}{rgb}{0,0,0} \hypersetup{colorlinks=true, breaklinks=true, linkcolor=linkcolor, menucolor=linkcolor, urlcolor=linkcolor, citecolor=linkcolor, bookmarksopen=true, bookmarksnumbered=false} \numberwithin{equation}{section} \numberwithin{figure}{section} \pagestyle{headings} \begin{document} \newcommand{\diff}[2][\#]{ \ensuremath{ \, \ifthenelse{\equal{#1}{\#}}{ \mathrm{d} #2 }{ \frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2} } \, } } \newcommand{\pdiff}[2][\#]{ \ensuremath{ \, \ifthenelse{\equal{#1}{\#}}{ \partial_#2 }{ \frac{\partial #1}{\partial #2} } \, } } \newcommand{\re}{ R \! \hspace{1mm} \! e } \newcommand{\st}{ S \! \hspace{1mm} \! t } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Titelseite % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \normalsize \rule{0mm}{0,4cm} \thispagestyle{empty} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.4]{DLR.png} \label{DLR} \end{figure} \normalsize \begin{center} \Huge Versuch 6 \\[5mm] \huge {\bf Aufbau einer Schlierenoptik und Anwendung an einem Überschallfreistrahl} \end{center} \normalsize \vspace{5mm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Strömungsmechanisches Praktikum} \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill Georg-August-Universität Göttingen \hfill \epsfxsize=2cm} \vspace{10mm} \begin{center} 26. August 2008 \end{center} \vspace{7mm} \begin{center} \begin{tabular}{rl} \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Praktikanten } \ \ & {\bf Johannes Dörr} \\ & \href{mailto:mail@johannesdoerr.de} {mail@johannesdoerr.de} \\ & \href{http://physik.johannesdoerr.de} {physik.johannesdoerr.de} \vspace{2mm} \\ & {\bf Jan Schumann-Bischoff} \\ & \href{mailto:jansb.stud@googlemail.com} {jansb.stud@googlemail.com} \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Durchführung } \ \ & am 19.08.2008 \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Betreuer } \ \ & Andreas Westhoff \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inhaltsverzeichnis % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tableofcontents \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % (Dokument) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Einleitung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dieser Versuch soll qualitativ die Schatten- und die Schlierenoptik vergleichen. Dabei sollen Dichteschwankungen in der Luft mit diesen Verfahren sichbar gemacht werden. Die Dichteschwankungen werden durch einen Verdichtungsstoß erzeugt, wenn ein Objekt mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt wird. Dieser Verdichtungsstoß kann als lauter Knall zu hören sein, wenn ein Flugzeug mit Überschallgeschwindigkeit über einem hinweg fliegt. %%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Theorie} %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Laval-Düse} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ein Gas (hier Luft) habe die Schallgeschwindigkeit $a$. Die Machzahl $M$ ist dann definiert als das Verhältnis von der tatsächlichen Geschwindigkeit $c$ zur Schallgeschwindigkeit, also $M=c/a$. Ist $M>1$, so handelt es sich um Überschallströmung. Ansonsten strömt das Gas mit einer Geschwindigkeit kleiner als $a$. Mit der Lavaldüse ist es möglich, eine Strömung mit Unterschallgeschwindigkeit auf Überschallgeschwindigkeit zu bringen. Dabei fließt das Gas durch ein Rohr, dessen Durchmesser sich erst verkleinert und sich dann wieder vergrößert (siehe Abb. \ref{fig:lavalduese}). \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{Bilder/lavalduese.PNG} \caption{Lavaldüse} \label{fig:lavalduese} \end{figure} Nun soll noch gezeigt werden, dass durch diese Düse Überschallgeschwindigkeit erzeugt werden kann. Wir nehmen an, dass es sich um eine stationäre und reibungsfreie Strömung handelt. Damit können wir die Strömung durch die eindimensionale Eulergleichung beschreiben. Weiter gilt die Zustandsgleichung $\frac{\diff{p}}{\diff{\rho}}=a^2$. Damit erhalten wir mit der stationären Eulergleichung ($x$ ist die Position auf der mittleren Stromlinie): \begin{align} c \, \frac{\diff{c}}{\diff{x}} &= -\frac{\diff{p}}{\diff{x}} \notag \\ &= -\frac{1}{\rho}\frac{\diff{p}}{\diff{\rho}}\frac{\diff{\rho}}{\diff{x}} \notag \\ &= -\frac{a^2}{\rho}\frac{\diff{\rho}}{\diff{x}} \notag \\ \Rightarrow -\frac{\rho}{c}M^2\frac{\diff{c}}{\diff{x}} &= \frac{\diff{\rho}}{\diff{x}} \ . \label{eq:laval} \end{align} Die Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung) besagt, dass bei einer sationären Strömung durch ein Rohr mit unterschiedlichen Querschnittsflächen $A(x)$ pro Zeit die gleiche Masse $m$ hindurchfließen muss, also $m/\Delta t=\mathrm{const}$. Die Masse ist durch $m=\rho V$ gegeben, wobei $V$ dem Volumen entspricht, welches pro der Zeit $\Delta t$ bei der Dichte $\rho$ durch den Querschnitt $A$ fließt. Wir erhalten $\frac{\rho V}{\Delta t}=\mathrm{const}$. Weiter ist das Volumen durch $V=cA$ gegeben. Damit ergibt sich \begin{align} \rho c A &= \mathrm{const} \cdot \Delta t \notag \\ \Rightarrow \ln \rho + \ln c + \ln A &= \ln (\mathrm{const}\cdot \Delta t) \notag \\ \Rightarrow \diff[]{x}\left[\ln \rho(x) + \ln c(x) + \ln A(x) \right] &= 0 \notag \\ \Rightarrow \frac{1}{\rho}\diff[\rho]{x} + \frac{1}{c}\diff[c]{x} + \frac{1}{A}\diff[A]{x} &= 0 \ . \label{eq:zw2} \end{align} Aus \eqref{eq:laval} und \eqref{eq:zw2} folgt direkt: \begin{equation} \diff[c]{x}=\frac{c}{A(M^2-1)}\diff[A]{x} \ . \label{eq:bed_laval} \end{equation} $A$ und $c$ sind auf jeden Fall positiv. In unserem Fall hersche auf der linken Seite der Düse Unterschallgeschwindigkeit ($M<1$). Dann können wir Folgendes aus \eqref{eq:bed_laval} ablesen: \begin{itemize} \item Von links nach rechts (siehe Abb. \ref{fig:lavalduese}) verringert sich der Querschnitt $A$, also $\diff[A]{x}<0$. Die Geschwindigkeit wird in diesem Bereich zunehmen, also$\diff[c]{x}>0$. Ist dies der Fall, so muss $M<1$ (und somit ist der Proportionalitätsfaktor < 1), also Unterschallgeschwindigkeit herschen. \item Schallgeschwindigkeit ist genau dann erreicht, wenn $M=1$ ist. Damit wäre $\frac{c}{A(M^2-1)}$ allerdings unendlich. Wäre dann $\diff[A]{x}$ von Null verschieden, so würde dieses einem unendlich großen Geschwindigkeitszuwachs entsprechen, was physikalisch nicht möglich wäre. Folglich kann $M=1$ nur dann realisiert werden, wenn der Querschnitt des Rohes konstant ist. In der Laval-Düse ist das genau an der Verengung der Düse. \item Im rechten Teil der Düse wird die Luft weiter beschleunigt, also $\diff[c]{x}>0$. Da auch $\diff[A]{x}>0$ ist, muss $M>1$ sein. Damit hat die Strömung im rechten Teil der Düse Überschallgeschwindigkeit. \end{itemize} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Kirchhoffsches Beugungsintegral} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Über das Kirchhoffsche Beugungsintegral kann das Beugungsbild einer Lichtquelle $L$ berechnet werden, das eine Blendenöffnung passiert (Abb. \ref{fig:beugungsintegral}). \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.60\textwidth]{Bilder/Beugungsintegral.jpg} \caption{Herleitung des Beugungsintegrals} \label{fig:beugungsintegral} \end{figure} Auf der Blendenöffnung, die hier in der $z\!=\!0$ -Ebene liegt, ist ein elektrisches Feld der Form \begin{align*} E_\mathrm{S} = E_{\mathrm{S}, 0} (x,y) \cdot e^{i \varphi(x,y)} = \frac{E_{\mathrm{L}, 0}}{R} \cdot e^{i \varphi(x,y) - kR} \end{align*} vorhanden. Im letzten Schritt nimmt man dabei an, dass es sich um eine punktförmige Lichtquelle handelt, die die Lichtwelle der Amplitude $E_{\mathrm{L}, 0}$ gleichmäßig in alle Richtungen emittiert. Von jedem infinitesimalen Flächenelement $\diff{\sigma}\!(x,y) = \diff{x} \! \cdot \! \diff{y}$ geht eine neue Elementarwelle aus, die im Punkt $P(x', y')$ auf dem Schirm den Feldstärkenbeitrag \begin{align*} \diff{E_\mathrm{P}}\!(x', y') = C \cdot \frac{E_\mathrm{S} \cdot \diff{\sigma}\!(x,y)}{r} e^{-ikr} \end{align*} liefert. Daraus folgt das {\it Kirchhoffsche Beugungsintegral} über die gesamte Blende: \begin{align*} E_\mathrm{P}(x', y') = \int \int_\mathrm{S} C \cdot E_\mathrm{S}(x,y) \cdot \frac{e^{ikr}}{r} \diff{x} \diff{y} \ . \end{align*} Nimmt man an, dass der Abstand $r$ zwischen den Blendenpunkten und den Punkten $P$ auf dem Schirm im Verhältnis zu den Werten der Blendenpunkte $x$ und $y$ groß ist, also für die Blendenpunkte $x/z_0 \ll 1$, $y/z_0 \ll 1$ gilt, dann kann $r$ im Nenner durch $z_0$ und im Exponenten durch eine Taylor-Näherung bis zum quadratischen Term \begin{align} r = \sqrt{z_0^2 + (x-x')^2 + (y-y')^2} \approx z_0 \left( 1 + \frac{(x-x')^2}{2z_0^2} + \frac{(y-y')^2}{2z_0^2} \right) \label{eq:beuginttaylor} \end{align} ersetzt werden. Dann erhält man mit dieser {\it Fresnel-Näherung} das Integral: \begin{align*} E_\mathrm{P}(x', y', z_0) = i \frac{e^{-ikz_0}}{\lambda z_0} \int \int_\mathrm{S} E_\mathrm{S}(x,y) \cdot \exp \left[ \frac{-ik}{2 z_0} \left( (x-x')^2 + (y-y')^2 \right) \right] \diff{x} \diff{y} \ . \end{align*} Dabei ist die Konstate $C=i/\lambda$ und $\cos \theta = z_0/r$ gesetzt worden. Ist der Abstand $z_0$ sehr groß im Verhältnis zum Durchmesser der Blendenöffnung, sodass gilt: \begin{align*} z_0 \gg \frac{1}{\lambda} \left(x^2 + y^2\right) \ , \end{align*} dann lässt sich für \eqref{eq:beuginttaylor} schreiben: \begin{align*} r \approx z_0 \left( 1 - \frac{xx'}{z_0^2} - \frac{yy'}{z_0^2} + \frac{x'^2 + y'^2}{2z_0^2} \right) \ . \end{align*} Dann erhält man das Integral in der {\it Fraunhofer-Näherung}: \begin{align*} E_\mathrm{P}(x', y', z_0) = i \frac{e^{-ikz_0}}{\lambda z_0} e^{(-i\pi)/(\lambda z_0) \cdot (x'^2 + y'^2)} \int \int_\mathrm{S} E_\mathrm{S}(x,y) \cdot \exp \left[ \frac{ik}{z_0} (xx' + yy') \right] \diff{x} \diff{y} \ . \end{align*} Da diese Formel nur bei großen Abständen gilt, sagt man, die Fraunhofer-Näherung beschreibt das Fernfeld. Sie entspricht der Fouriertransformation des Beugungsobjektes. Da bei kleinen Abständen (Nahfeld) die Näherungen nicht mehr gültig sind, muss dort die Fresnelsche Beugung verwendet werden. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Schlierenoptik} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Tritt Licht durch ein Medium, das kleine Dichteunterschiede aufweist, so erfahren die Strahlen eine Phasenverschiebung. Da das Auge nur Intensitäten wahrnimmt und diese proportional zum Quadrat des elektromagnetischen Feldvektors ist, ist diese Phasenverschiebung nicht sichtbar. Das Schlierenverfahren stellt eine Möglichkeit dar, die Phase in die Intensität zu modulieren und somit sichtbar zu machen. Dabei wird das Licht, das das Phasenobjekt, also den Bereich mit den Dichteschwankungen, die zu einer Phasenverschiebung führen, über eine Linse in ihrem Brennpunkt fouriertransformiert. Dort kann dann über einen Raumfrequenzfilter, der die Form einer Blende unterschiedlichster Art haben kann, das Spektrum manipuliert werden, ganz analog zur Bearbeitung von Zeitsignalen. Durch eine weitere Linse folgt die inverse Fouriertransformation, aus der man das bearbeitete Signal erhält. Bringt man in der Brennebene eine Halbblende (Schlierenkante) an, die die Hälfte des Fourierspektrums inklusive der halben nullten Ordnung absorbiert, so erhält man nach der Rücktransformation eine Intensitätsverteilung, die proportional zur Ableitung der Phase ist. Bereiche, in denen sich die Phase also schnell ändert, bekommen also einen sehr deutlichen Kontrast. Beim Betrachten einer Kerze durch die Schlierenoptik sind die Umrisse der Flamme gut zu erkennen, denn diese ist sehr heiß, sodass sich eine hohe Druckänderung ergibt. Schlieren beobachtet man jedoch nur an der einen Seite der Flamme. Dies kommt daher, dass alle negativen Raumfrequenzen weggefiltert werden, während die postiven bestehen bleiben (oder umgekehrt). Dadurch sind Übergänge von Hell auf Dunkel sichtbar, das Umgekehrte jedoch nicht. \\ Über sehr heißen Flächen wie zum Beispiel Dächern, auf die die Sonne scheint, oder Motoren bei der Formel 1 erkennt man auch ohne optische Hilfsmittel das Flimmern der heißen aufsteigenden Luft. Dies kommt daher, dass sich bei sehr hohen Temperaturen auch die Transmissionseigenschaften der Luft ändern, also die Intensität direkt beeinträchtigt wird, und nicht nur die Phase. Auch mit dieser {\bf Schattenoptik}, die also ohne den Halbfilter auskommt, ist der Überschallstrahl sichtbar, jedoch relativ schwach. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Durchführung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Teil 1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% In diesem Teil soll mittels Schatten- und Schlierenoptik ein Objekt (hier eine Kerze) abgebildet werden (Strahlengang siehe Abb. \ref{fig:Strahlengang}). Es wird qualitativ das Bild in der Abbildungsebene mit und ohne Schlierenkante verglichen. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.50\textwidth]{Bilder/Strahlengang.PNG} \caption{Strahlengang einer Schlierenoptik: Lichtquelle (Q), Linsen (L), Blende (B), Schlierenkante (S), Objekt (M) und Abbildungsebene (F)} \label{fig:Strahlengang} \end{figure} Ohne Schlierenkante ehalten wir ein Bild in der Abbildungsebene mittels Schattenverfahren. %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Teil 2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier wird eine Spitze mit Luft (mit Überschallgeschwindigkeit) umströmt und mittels Schatten- und Schlierenoptik das Bild in der Abbildungsebene abfotografiert. Somit kann der Verdichtungsstoß sichtbar gemacht werden. Aus diesem soll dann die Machzahl der Anströmung ermittelt werden. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Auswertung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Wir haben eine spitz zulaufende Platte mit Luft (Machzahl $M_1>1$) angeströmt. Von der Spitze habe wir dann Aufnahmen mit der Schlierenmethode und der Schattenoptik gemacht. Damit konnte der Verdichtungsstoß sichtbar gemacht werden. Dieser steht im Winkel $\varepsilon$ zur Anströmrichtung der Luft (Skizze siehe Abb. \ref{fig:skizze_verdichtungsstross}). Der Öffnungswinkel der Spitze sei $2 \delta_c$. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.50\textwidth]{Bilder/skizze_verdichtungsstross.PNG} \caption{Skizze der Anströmung der Spitze und des Verdichtungsstoßes} \label{fig:skizze_verdichtungsstross} \end{figure} Abb. \ref{fig:schatten} und \ref{fig:schlieren} zeigen die mit einer Digitalkamera gemachten Aufnahmen. \begin{figure}[h] \begin{minipage}[hbt]{7.8cm} \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/schatten.png} \caption{Verdichtungsstoß (Schattenoptik)} \label{fig:schatten} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[hbt]{7.8cm} \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/schlieren.png} \caption{Verdichtungsstoß (Schlierenoptik)} \label{fig:schlieren} \end{minipage} \end{figure} Aus den Fotos konnten die Winkel $\delta_c=10.5^\circ$, für die Schlierenoptik $\varepsilon_\mathrm{Schl}=35.15^\circ$ und für die Schattenoptik $\varepsilon_\mathrm{Schatt}=34.60^\circ$ abgelesen werden. Dies ergibt im Mittel $\varepsilon=34.87^\circ$. Abb. \ref{fig:Zusammenhang_epsilon_deltac} stellt den Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen und der Machzahl $M_1$ der Anströmung dar. Für die gemessenen Winkel können wir eine Machzahl von \begin{displaymath} M_1 \approx 1.7 \end{displaymath} ablesen. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Zusammenhang_epsilon_deltac.PNG} \caption{Zusammenhang zwischen $\varepsilon$, $\delta_c$ und $M_1$} \label{fig:Zusammenhang_epsilon_deltac} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Diskussion} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dieser Versuch hat die Schlierenoptik in Verbindung mit Phänomenen der Überschalllgeschwindigkeit von Luft sehr eindrucksvoll dargestellt. Der an der Spitze entstandene Verdichtungsstoß konnte auf den von uns gemachten Aufnahmen leicht wiedererkannt werden. Die in dem Skript dargestellte Methode zur Berechnung der Machzahl der Anströmung aus gemessenen Drücken war uns leider nicht möglich, sodass wir die über die Schlieren- und Schattenoptik gefundene Machzahl nicht mit einem theoretischen Wert vergleichen können. Somit können wir keine Aussage über die Richtigkeit von $M_1$ machen. Aufgrund der guten Aufnahmen ist jedoch anzunehmen, dass dieser Wert wenigstens in der Größenordnung mit dem tatsächlichen übereinstimmt. \end{document}