\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{graphicx} \usepackage{subfigure} \usepackage{a4wide} \usepackage{esvect} \usepackage{pstricks} \usepackage{pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{multicol,epsf} \usepackage{ae,aecompl} \usepackage{helvet} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \usepackage{bbm} \usepackage[mathcal]{euscript} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{hyperref} \definecolor{linkcolor}{rgb}{0,0,0} \hypersetup{colorlinks=true, breaklinks=true, linkcolor=linkcolor, menucolor=linkcolor, urlcolor=linkcolor, citecolor=linkcolor, bookmarksopen=true, bookmarksnumbered=false} \numberwithin{equation}{section} \numberwithin{figure}{section} \pagestyle{headings} \begin{document} \newcommand{\diff}[1]{ \, \mathrm{d} #1 \, } \newcommand{\re}{ R \! \hspace{1mm} \! e } \newcommand{\st}{ S \! \hspace{1mm} \! t } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Titelseite % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \normalsize \rule{0mm}{0,4cm} \thispagestyle{empty} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.4]{DLR.png} \label{DLR} \end{figure} \normalsize \begin{center} \Huge Versuch 5 \\[5mm] \Huge {\bf Particle Image Velocimetry} \end{center} \normalsize \vspace{5mm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Strömungsmechanisches Praktikum} \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill Georg-August-Universität Göttingen \hfill \epsfxsize=2cm} \vspace{10mm} \begin{center} 21. August 2008 \end{center} \vspace{7mm} \begin{center} \begin{tabular}{rl} \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Praktikanten } \ \ & {\bf Johannes Dörr} \\ & \href{mailto:mail@johannesdoerr.de} {mail@johannesdoerr.de} \\ & \href{http://physik.johannesdoerr.de} {physik.johannesdoerr.de} \vspace{2mm} \\ & {\bf Jan Schumann-Bischoff} \\ & \href{mailto:jansb.stud@googlemail.com} {jansb.stud@googlemail.com} \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Durchführung } \ \ & am 18.08.2008 \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Betreuer } \ \ & Karsten Staack \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inhaltsverzeichnis % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tableofcontents \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % (Dokument) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Einleitung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dieser Versuch führt ein in die Messung von Geschwindigkeitsprofilen. Im Gegensatz zu Methoden mit Hitzdrähten oder Prandtl-Sonden ist es mit der hier verwendeten {\it Particle Image Velocimetry} möglich, die Geschwindigkeiten an vielen Orten gleichzeitig zu messen, und das aus vornehmer Entfernung. %%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Theorie} %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Funktionsweise der Particle Image Velocimetry} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Um das Geschwindigkeitsprofil einer Strömung mittels der Particle Image Velocimetry-Methode aufzeichnen zu können, müssen in die Flüssigkeit kleine Partikel gegeben werden, deren Bewegung mit einer Kamera aufgenommen werden kann. Im Rahmen dieses Versuchs betrachten wir nur die Strömung an der Wasseroberfläche, weshalb (schwimmende) Aluminium-Partikel verwenden werden. Eine Kamera nimmt die Partikelbewegung auf. Durch die Analyse von zwei aufeinanderfolgenden Bildern, deren Zeitdifferenz man kennt, kann auf die Bewegungsgeschwindigkeit der Partikel geschlossen werden. Es wäre hierbei sehr aufwendig, für jeden einzelnen Partikel zu ermitteln, wohin er sich bewegt hat bzw. herauszufinden, welche Punkte auf beiden Bildern wirklich dieselben Partikel zeigen. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Korrelation.jpg} \caption{Bestimmung der Korrelation zweier Bildausschnitte (vereinfacht auf eine Dimension statt zwei)} \label{fig:korrelation} \end{figure} Aus diesem Grund verwendet man die Annahme, dass sich benachbarte Partikel relativ ähnlich bewegen und es somit ausreicht, wenn man die Strömungsrichtung und -geschwindigkeit von einem Bereich kennt, in dem sich mehrere Partikel befinden. Die Kamerabilder werden deshalb in quadratische Ausschnitte unterteilt. Für jeden Bildausschnitt wird dann von der Auswertungssoftware eine Kreuzkorrelation mit dem zeitlich darauffolgenden Bild erstellt. Allgemein gibt die Kreuzkorrelationsfunktion von zwei Funktionen $f(t)$ und $g(t)$ ihre "`Ähnlichkeit"' an. Die Korrelationsfunktion besitzt den Parameter $\tau$, über den die Verschiebung der beiden Funktionen zueinander angegeben wird. Man kann dann den Wert für $\tau$ suchen, bei dem die Korrelationsfunktion maximal ist. Bei der Analyse von Zeitsignalen kann auf diese Weise zum Beispiel der Laufzeitunterschied zweier identischer Signale bestimmt werden. Entspricht nämlich $\tau$ gerade dem Laufzeitunterschied, ist die Korrelationsfunktion maximal. \footnote{Eine ausführlichere Beschreibung der Kreuzkorrelation findet sich im F-Praktikumsprotokoll zu Versuch 243 "`Auto- und Kreuzkorrelation"', das über die Adresse \href{http://physik.johannesdoerr.de/f-praktikum}{http://physik.johannesdoerr.de/f-praktikum} aufgerufen werden kann.} Bei der Auswertung der Bildausschnitte stellen diese eine diskrete Funktion dar, deren maximale Übereinstimmung für zwei Verschiebungsparameter, nämlich in x- und y-Richtung gesucht wird (Abbildung \ref{fig:korrelation}). Sind die Abbildungen der Partikel kleiner als ein Pixel des CCD-Chips, so tritt hierbei ein Problem namens {\it Peak-Locking} auf. Es kann nämlich nicht gesagt werden, an welcher Position innerhalb des Pixels sich das Partikel befindet, sodass man also ganzzahlige Positionen (1px, 2px, ...) bekommt. Diese Ungenauigkeit kann man verhindern, indem man dafür sorgt, dass ein Partikel auf mehrere Pixel passt. Der Peak der diskreten Korrelationsfunktion wird dadurch breiter. Um seine Position zu finden, legt man um den höchsten Wert und seine Nachbarn eine Gaußkurve und bestimmt deren Maximum (Abbildung \ref{fig:gauss}). Dies passiert natürlich in beiden Bilddimensionen (Abbildung \ref{fig:gauss2}). \begin{figure} \begin{minipage}[hbt]{7cm} \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Gauss.jpg} \caption{Genaue Bestimmung des Korrelationspeaks durch Hineinlegen einer Gaußkurve} \label{fig:gauss} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[hbt]{8cm} \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Gauss2.jpg} \caption{Korrelationspeak in zwei Dimensionen durch zweidimensionale Gaußkurve} \label{fig:gauss2} \end{minipage} \end{figure} Auf diese Weise wird die Verschiebung der Partikel in jedem Bildausschnitt berechnet. Mit der Kenntnis des Zeitintervalls, in dem die Bilder aufgenommen werden, erhält man die Gescchwindigkeiten in allen Bildausschnitten. Wählt man die Bildausschnitte groß, so erhält man nur wenige Geschwindigkeitspfeile und damit nur wenig Details des Geschwindigkeitsprofils. Wählt man sie hingegen zu klein, so sind zu wenige Partikel (weniger als ungefähr 10) in einem Bereich, als dass die Auswertung über die Korrelationsfunktion noch gut genug funktioniert. Die Auswertungssoftware unterteilt das Kamerabild nicht kachelförmig in Bildausschnitte sondern überlappend. Dies hat den Vorteil, dass ein sich aus dem Auschnitt herausbewegendes Partikel, das also im nächsten Zeitschritt nicht mehr in diesem Ausschnitt zu finden ist, direkt in der Mitte des nächsten Abschnitts liegt und dessen Geschwindigkeit dort korrekt ermittelt werden kann. Dennoch kann es passieren, dass bestimmte Geschwindigkeiten nicht korrekt ermittelt werden können. Aus diesem Grund steht ein weiterer Berechnungsalgorithmus zur Auswahl bereit, der zunächst größere Bildausschnitte wählt und diese dann verfeinert. Probleme, die durch das "`Verschwinden"' von Partikel in andere Bildausschnitte zu Stande kommen, können hier nicht mehr auftreten. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Untersuchte Geschwindigkeitsprofile} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% In diesem Versuch werden wir die Geschwindigkeitsprofile bei einer Tragfläche sowie hinter einem Rohrzylinder bestimmen. Beide Strömungsprofile wurden in jeweils einem eigenen Protokoll, nämlich zu Versuch 9 bzw. Versuch 8, genauer behandelt, weshalb wir auf eine Wiederholung an dieser Stelle verzichten. Die Protokolle sind unter der Web-Adresse \href{http://physics.johannesdoerr.de/stroemungsmechanisches\%20praktikum} {http://physik.johannesdoerr.de/stroemungsmechanisches\%20praktikum} aufrufbar. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Durchführung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Der Aufbau des Versuchs besteht aus einer Rinne mit Wasser, auf dessen Oberfläche Aluminiumpartikel gestreut wurden. Darüber ist ein motorisiertes Wägelchen montiert, an das Strömungsobjekte montiert werden können, die dann durch das Wasser gezogen werden. Mittels der ebenfalls am Wägelchen befestigten Kamera kann dabei die Bewegung der Partikel aufgenommen werden. Eine Computersoftware empfängt die Daten der Kamera. Nach der Aufnahme einer Messung können dort zwei geeignete aufeinander folgende Frames ausgewählt werden, aus denen das Geschwindigkeitsprofil bestimmt wird. Hier sind einige Darstellungsoptionen vorhanden. Beispielsweise kann von allen Geschwindigkeiten die Durchschnittsgeschwindigkeit aller Partikel subtrahiert werden, sodass Unterschiede deutlicher werden. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Auswertung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% In diesem Abschnitt zeigen wir die Bilder, die für verschiedene Strömungsprofile aufgezeichnet wurden. Dabei beschränken wir uns auf die Aufnahmen, auf denen auch etwas zu erkennen ist. Die großen Pfeile am Rand deuten die Hauptströmungsrichtung an, da sich die Kameraausrichtung zwischen einigen Aufnahmen unterscheidet. Beim {\bf Tragflächenprofil} ist der auf der Oberseite der Tragfläche (im Bild rechts) liegende hintere Staupunkt, in dem sich die Strömung der Oberseite mit der von der Unterseite, die um die hintere Kante herumströmt, trifft, gut zu erkennen (Abb. \ref{fig:ausw1}). Bei der Messung wurde das Profil bei recht großem Winkel langsam bewegt, sodass sich der Wirbel noch nicht ablöst. Bei höherer Geschwindigkeit ist dies hingegen der Fall (Abb. \ref{fig:ausw2}). Um den Anfahrwirbel deutlich sichtbar zu machen, wurde bei der Auswertung die Durchschnittsgeschwindigkeit subtrahiert. Man sieht Geschwindigkeitsvektoren, die sich in Bewegungsrichtung der Tragfläche bewegen, was in Wirklichkeit jedoch nur eine viel langsamere Bewegung in die andere Richtung bedeutet. Ebenso ist zu erkennen, dass auf der Tragfläche selbst eine Strömung angezeigt wird, obwohl diese relativ zur Kameraposition ruht -- diese Vektoren zeigen im Wesentlichen die Durchschnittsgeschwindigkeit, da diese von der Geschwindigkeit Null der Tragfläche abgezogen werden. Dass sie aber nicht ausnahmslos in Bewegungsrichtung zeigen, deutet darauf hin, dass der Algorithmus an diesen Stellen ein paar Probleme hatte. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.75\textwidth]{Bilder/Fotos/TragflaecheWinkelGross.png} \caption{Strömung um Tragfläche bei langsamer Geschwindigkeit} \label{fig:ausw1} \end{figure} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.75\textwidth]{Bilder/Fotos/Tragflaeche1.png} \caption{Anfahrwirbel} \label{fig:ausw2} \end{figure} Bei der Messung mit dem {\bf Rohrzylinder} hatten wir eigentlich gehofft, die Karmansche Wirbelstraße zu sehen. Leider ist dies nur im Ansatz möglich (Abb. \ref{fig:ausw3}a). Neben einigen Störungen wie zum Beispiel die wesentlich höhere Geschwindigkeit oben als unten, was im Optimalfall nicht der Fall sein sollte, sieht man hinter dem Zylinder leicht oberhalb einen Wirbel. Verglichen mit Abbildung \ref{fig:ausw3}b sieht man zumindest an dieser Stelle eine Übereinstimmung. \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Aufgezeichnete Wirbel] {\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Bilder/Fotos/Zylinderlangsam.png}} \\ \subfigure[Theoretisch erwartete Wirbel] {\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Bilder/zylinder.jpg}} \caption{Strömung hinter einem Zylinder} \label{fig:ausw3} \end{figure} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Diskussion} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Leider funktionierte dieser Versuch bei uns nicht so einwandfrei wie erwartet. Das größte Problem dabei sind die schlechten Lichtverhältnisse, die in dem Versuchsraum herrschen. Das Licht fällt gerade so ein, dass es an der Wasseroberfläche stark reflektiert und in die Kamera strahlt. Hier mussten wir auf Schatten spendende Tücher und Platten zurückgreifen und diese bei Bewegen des Wagens mitführen. Dennoch gibt der Versuch guten Einblick in die Vorgehensweise (besonders gut in die Probleme dabei) und zeigt außerdem eine spannende Anwendung von Signalfilterung bei der Bildanalyse. \end{document}