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\begin{document}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           Titelseite                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\normalsize
\rule{0mm}{0,4cm}
\thispagestyle{empty}

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.4]{DLR.png}
 \label{DLR}
\end{figure}

\normalsize

\begin{center}
   \Huge 
   Versuch 3 \\[5mm]
   \Huge
   {\bf Magnetohydrodynamische Gerinneströmung}
\end{center}

\normalsize
\vspace{5mm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Strömungsmechanisches Praktikum} \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill Georg-August-Universität Göttingen \hfill \epsfxsize=2cm}

\vspace{10mm}

\begin{center}
	20. August 2008
\end{center}

\vspace{7mm}
\begin{center}
	\begin{tabular}{rl}
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	  {\it Praktikanten	}  	\	\	& {\bf Johannes Dörr} 	 	 						\\
	  												& \href{mailto:mail@johannesdoerr.de}
	  															 {mail@johannesdoerr.de}	 			  \\
	  												& \href{http://physik.johannesdoerr.de}
	  															 {physik.johannesdoerr.de}				\vspace{2mm} \\
														& {\bf Jan Schumann-Bischoff}						\\
	  												& \href{mailto:jansb.stud@googlemail.com}
	  															 {jansb.stud@googlemail.com}		  \\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Durchführung	}	\	\	& am 19.08.2008				 	 								\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Betreuer			}	\	\	& Andreas Westhoff											\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	\end{tabular}
\end{center}



\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                       Inhaltsverzeichnis                      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\tableofcontents 

	
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           (Dokument)                          %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Einleitung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dieser Versuch soll einen kleinen Einblick in grundlegenste Phänomene der Magnetohydrodynamik 
geben. Es soll die Wirkung von elektrischen und magnetischen Feldern auf eine ionisierte 
Flüssigkeit untersucht werden. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Theorie}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Versuchsaufbau}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
In diesem Versuch soll die Fließgeschwindigkeit $u$ von Schwefelionen in einem ringförmigen Kanal 
bestimmt werden (siehe Abb. \ref{fig:aufbau}). 
\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=0.70\textwidth]{Bilder/aufbau.PNG}
	\caption{Versuchsaufbau}
	\label{fig:aufbau}
\end{figure}
Zwischen den Polen ist eine Spannung angelegt. Aufgrund der Schwefelionen wird ein Elektrolysestrom 
$I_\mathrm{E}$ zwischen den Polen fließen. Unter dem Kanal befindet sich eine Spule, welche ein $B$-Feld 
senkrecht zur Kanaloberfläche erzeugt, welches proportional zum durch die Spule fließenden Strom 
$I_\mathrm{M}$ ist. Dadurch wirkt die Lorentzkraft senkrecht zum $B$- und $E$-Feld auf die Ionen. Diese 
bewegen sich somit in Umlaufrichtung des Kanals.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Beziehung zwischen $B$-Feld und Geschwindigkeit}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Unser Fluid besteht aus mit der Ladung $q$ geladenen Atomen, welche sich mit der Geschwindigkeit $\uu$ 
bewegt. Auf diese wirkt die Lorentzkraft
\begin{equation}
	\FL=q\cdot \uu \times \BB \ .
	\label{eq:lorentz}
\end{equation}
Um diese Kraft in die Navier-Stokes Gleichung einsetzen zu können, muss sie pro Volumen $V$ formuliert werden ($\rho_\mathrm{L}=Q/V$ ist die Ladungsdichte, $\jj=\rho_\mathrm{L}\cdot \uu$ ist die Stromdichte), also
\begin{equation}
	\fl=\frac{\FL}{V}=\frac{Q}{V}\uu \times \BB=\rho_\mathrm{L}\uu \times \BB=\jj \times \BB \ .
	\label{eq:lorentz_norm}
\end{equation}

Wir betrachten die Navier-Stokes Gleichung, wobei auf die Flüssigkeit die auf das Volumen normierte Kraft 
$\fl$ wirkt. Dabei verwenden wir die allgemein gültigen Identitäten $\rot(\nabla \dd)=0$ und $(\dd\cdot \nabla)\dd=1/2\nabla \dd^2 - \dd \times \rot \, \dd$ ($\rho$ ist die Dichte, $\eta$ ist die dynamische 
Viskosität, $p$ ist der Druck). Der Laplace-Operator auf eine vektorwertige Größe angewand ist so zu 
verstehen, dass dieser auf jede Komponente angewand werden muss:
\begin{align}
	\partial_t \uu + (\uu \cdot \nabla)\uu																											&=	-\frac{1}{\rho}\nabla p+\frac{\eta}{\rho}\Delta \uu + \frac{1}{\rho}\fl \notag \\
	\Rightarrow 	\partial_t \uu + \frac{1}{2}\nabla \uu^2 - \uu \times \rot \, \uu							&=	-\frac{1}{\rho}\nabla p+\frac{\eta}{\rho}\Delta \uu + \frac{1}{\rho}\fl \notag \\
	\Rightarrow \partial_t \rot \, \uu + \frac{1}{2}\underbrace{\rot (\nabla \uu^2)}_{=0}-\rot(\uu\times\rot \, \uu)	&=	-\frac{1}{\rho}\underbrace{\rot(\nabla p)}_{=0} + \frac{\eta}{\rho}\rot \Delta \uu + \frac{1}{\rho}\rot \, \fl \notag \\
	\Rightarrow	 \partial_t \rot \, \uu																							&=	\rot(\uu\times\rot \, \uu) + \frac{\eta}{\rho}  \Delta \, \rot \, \uu + \frac{1}{\rho}\rot (\jj \times \BB) 
	\label{eq:navier_versuch_kart}
\end{align}
Aus dem Versuchsaufbau ist zu erkennen, dass die Winkelgeschwindigkeit nur in $z$-Richtung zeigt 
(die $z$-Richtung sei senkrecht zum Umlaufsinn der Flüssigkeit gewählt), also $\omega=(0,0,\omega)$. 
Ein beliebiger Punkt sei $\xx=(x,y,z)$. Für die Geschwindigkeit gelte weiterhin $\uu=\vec{\omega}\times \xx=(0,0,\omega)\times \xx$. Daraus folgt
\begin{equation}
	\rot \, \uu= \rot \! \left( \vektor{0}{0}{\omega}\times \vektor{x}{y}{z}\right)=\rot \! \vektor{-\omega y}{\omega x}{0}=\vektor{0}{0}{2\omega}=2\vec{\omega} \ .
	\label{eq:zw1}
\end{equation}

Aufgrund der Rotationssymmetrie unseres Versuchs ist es weckmäßig Zylinderkoordinaten 
$(r,\phi, z)=r\er + \phi\ephi + z\ez$ einzuführen. Dabei sei $r$ der Radius, $\phi$ der Winkel und $z$ 
die Komponente senkrecht zum Umlaufsinn der Flüssigkeit. Aus dem Versuchsaufbau folgt sofort, dass $\BB=B\ez$ 
und $\jj=j\er$ ist. Dabei wird $\jj$ durch der Elektrolysestrom $I_\mathrm{E}$ verursacht. Da \eqref{eq:zw1} nur in der $z$-Komponente von Null verschieden ist, gilt diese Gleichung mit den selben Komponenten auch in Zylinderkoordinaten. 
Aus \eqref{eq:navier_versuch_kart} folgt damit:
\begin{equation}
	2\partial_t \vec{\omega}=2 \, \rot \! (\uu\times \vec{\omega})+\frac{2\eta}{\rho}\Delta \vec{\omega}  +\frac{1}{\rho}\rot \! \vektor{0}{-Bj}{0} \ .
	\label{eq:navier_versuch_zylinder}
\end{equation}
Wir können folgende Annahmen machen:
\begin{itemize}
	\item Die Strömung ist stationär, also 
			\begin{displaymath}
					\partial_t \vec{\omega}=0 \ .
			\end{displaymath}
	\item Aufgrund der Symmetrie des Aufbaus ist $\vec{\omega}$ unabhängig von $\phi$ und $z$, also
			\begin{align*}
				\partial_\phi \vec{\omega}	&=	0	\\
				\Rightarrow\partial_{\phi \phi} \vec{\omega}	&=	0
			\end{align*}
			und
			\begin{align*}
				\partial_z \vec{\omega}	&=	0	\\
				\Rightarrow\partial_{zz} \vec{\omega}	&=	0	\ .
			\end{align*}
\end{itemize}
Wir betrachten jetzt die $z$-Komponente von \eqref{eq:navier_versuch_zylinder} und erhalten\footnote{Der 
Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten ist gegeben durch
$\Delta f(r,\phi,z)=\frac{1}{r}\partial_r(r\partial_rf) + \frac{1}{r^2}\partial_{\phi \phi}f+\partial_{zz}f$.
Mit den von uns gemachten Annahmen über $\omega$ lautet er in diesem Spezialfall
$\Delta\omega(r,\phi,z) = \frac{1}{r}\partial_r \omega + \partial_{rr} \omega$.
Weiter ist die $z$-Komponente der Rotation gegeben durch
$\rot_z \mathbf{f}(r,\phi,z)=\frac{1}{r}\left[\partial_r(r f_\phi) - \partial_\phi f_r\right]$.}:
\begin{align}
	\partial_t \omega	&=	\rot_z \! \vektor{\omega^2r}{0}{0} + \frac{1}{2\rho}\rot_z \! \vektor{0}{-jB}{0} + \frac{\eta}{\rho}\Delta \omega \notag \\
	0	&=	-\frac{1}{r}\partial_\phi(\omega^2r)-\frac{1}{2\rho r}\partial_r(rjB)+\frac{\eta}{\rho}\left[\frac{1}{r}\partial_r\omega+\partial_{rr}\omega\right] \ .
	\label{eq:zw2}
\end{align}
Da stehts $\vec{\omega} \bot \xx$ ist, folgt für den Betrag der Geschwindigkeit $u=|\uu |=\omega \cdot r$. Damit 
und mit den von uns gemachten Annahmen vereinfacht sich \eqref{eq:zw2} weiter zu
\begin{align}
	jB						&=	2\eta \cdot \frac{u}{r^2} \notag \\
	\Rightarrow u	&=	\frac{r^2}{2\eta}jB \ .
	\label{eq:final}
\end{align}
Da die $B$-Feldstärke proportional zum Spulenstrom $I_\mathrm{M}$ und die Stromdichte $j$ proportional zum 
Elektrolysestrom $I_\mathrm{E}$ ist, folgt aus \eqref{eq:final}
\begin{align}
	u							&		\propto \frac{r^2}{2\eta}I_\mathrm{M}I_\mathrm{E}	\notag \\
	\Rightarrow u	&=	\alpha \frac{r^2}{2\eta}I_\mathrm{M}I_\mathrm{E} \ .
	\label{eq:final2}
\end{align}


\newpage
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\section{Durchführung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die Strömungsgeschwindigkeit wird mit Hilfe eines modifizierten Ampèremeters gemessen. Dabei
ist der Zeiger mit einer kleinen Kugel verbunden, die in die Flüssigkeit eingetaucht wird.
Je nach Strömungsgeschwindigkeit wird dadurch der Zeiger aus seiner Stellung ausgelenkt.
Lässt man einen Kompensationsstrom $I_\mathrm{K}$ durch das Messgerät fließen, so bewegt sich 
der Zeiger zurück auf seine ursprüngliche Position. Durch eine Eichmessung kann dann zu späteren
Zeitpunkten von dem Kompensationsstrom auf die Geschwindigkeit geschlossen werden.

Bei der Eichmessung wird der ringförmige Kanal mit Hilfe eines Motors gedreht und dabei
der Strom $I_\mathrm{K}$ so eingestellt, dass der Zeiger wieder auf seiner Ausgangsposition steht.
Dieser Wert wird zusammen mit der Drehzahl notiert.

Bei der eigentlichen Messung wird für verschiedene Werte für $I_\mathrm{E}$ jeweils
eine Messreihe für den nötigen Kompensationsstrom $I_\mathrm{K}$ in Abhängigkeit von 
$I_\mathrm{M}$ aufgezeichnet.


\numberwithin{figure}{subsection}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Auswertung}
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\subsection{Kalibrierkurve}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Auf Grund eines Defekts der Apparatur könnten wir die Kalibrierkurve nicht selbst
aufzeichnen und greifen stattdessen auf Vorgängerdaten zurück. Es wurde der 
Kompensationsstrom $I_\mathrm{K}$ für verschiedene Fließgeschwindigkeiten $u$ aufgenommen. In
Abbildung \ref{fig:kalibrierkurve} ist $u$ in Abhängigkeit von $I_\mathrm{K}$ aufgetragen.
Die lineare Regression ergibt eine Steigung von
\begin{align}
	0.23(3) \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s} \! \cdot \! \mathrm{mA}} \ .
\end{align}


\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=0.80\textwidth]{Bilder/Kalibrierkurve.png}
	\caption{Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Kompensationsstrom}
	\label{fig:kalibrierkurve}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Messung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der Zusammenhang zwischen $u$ und $I_\mathrm{E}$ bei konstantem $I_\mathrm{M}$
sowie zwischen $u$ und $I_\mathrm{M}$ bei konstantem $I_\mathrm{E}$ ist laut
Gleichung \eqref{eq:final2} linear. Um dies experimentell zu bestätigen, wurden bei verschieden
(konstanten) Werten für 
$I_E=2.3 \mathrm{A}, 2 \mathrm{A}, 1.75 \mathrm{A}, 1.5 \mathrm{A}$ und $1.25 \mathrm{A}$
jeweils Messungen von $I_\mathrm{K}$ in Abhängigkeit von 
$I_\mathrm{M} = 2 \mathrm{A}, 1.75 \mathrm{A}, 1.5 \mathrm{A}, 1.25 \mathrm{A}$ und  $1.1 \mathrm{A}$
durchgeführt. 

\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/u-IE.jpg}
	\caption{Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $I_\mathrm{E}$ 
					 für verschiedene $I_\mathrm{M}$.}
	\label{fig:uie}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:uie} zeigt $u_{I_\mathrm{M}}(I_\mathrm{E})$, 
Abbildung \ref{fig:uim1} zeigt $u_{I_\mathrm{E}}(I_\mathrm{M})$. Dabei wurde
aus $I_\mathrm{K}$ mit Hilfe der Steigung aus dem vorigen Abschnitt
die jeweilige Geschwindigkeit $u$ errechnet. Die linearen 
Fits gehen dabei per Vorgabe durch Null, da wir einen linearen Zusammenhang erwarten.

Leider sind unsere Messwerte sehr verstreut und lassen nicht unbedingt einen
linearen Zusammenhang vermuten. Dies haben wir jedoch bereits bei der
Versuchsdurchführung erwartet (siehe Diskussion, Abschnitt \ref{sec:Diskussion}).
Abbildung \ref{fig:uim1} zeigt noch einmal $u_{I_\mathrm{E}}(I_\mathrm{M})$,
jedoch gehen hier die Regressionsgeraden nicht durch Null. Man sieht, dass 
die Steigungen zwar mit größer werdendem $I_\mathrm{E}$ auch größer werden,
jedoch scheint ein additiver Fehler vorzuliegen, denn die Geraden müssten
in derselben Reigenfolge übereinander liegen.

\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/u-IM1.jpg}
	\caption{Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $I_\mathrm{M}$
					 für verschiedene $I_\mathrm{E}$.}
	\label{fig:uim1}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/u-IM2.jpg}
	\caption{Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $I_\mathrm{M}$
					 für verschiedene $I_\mathrm{E}$, dabei gehen 
					 die Regressionsgeraden nicht durch den Ursprung}
	\label{fig:uim2}
\end{figure}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Diskussion \label{sec:Diskussion}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Unsere Messwerte lassen leider einiges zu Wünschen übrig. Schon bei der
Durchführung ist uns aufgefallen, sich das Messgerät bei Einstellung
des Kompensationsstroms sehr träge verhält und man somit leicht wesentlich
größere oder kleinere Ströme einstellt, wenn man nicht lange genug abwartet.
Abgesehen davon braucht die Flüssigkeit auch lange, bis man einen stationären
Zustand erhält. Jedoch hat insgesamt auch sehr langes Warten nicht ausgereicht, 
um vernünftige Ergebnisse zu erzielen.

Uns fällt schwer, anzugeben, worin diese schlechten Resultate begründet liegen,
ob vielleicht sogar eines der Komponenten nicht richtig funktioniert hat, zum
Beispiel etwa der Geschwindigkeitsmesser.


\end{document}