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\begin{document}


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R \! \hspace{1mm} \! e
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S \! \hspace{1mm} \! t
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           Titelseite                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\normalsize
\rule{0mm}{0,4cm}
\thispagestyle{empty}

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.4]{DLR.png}
 \label{DLR}
\end{figure}

\normalsize

\begin{center}
   \Huge 
   Versuch 2 \\[5mm]
   \LARGE
   {\bf Fließverhalten newtonscher und 
   			nicht-newtonscher Flüssigkeiten}
\end{center}

\normalsize
\vspace{5mm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Strömungsmechanisches Praktikum} \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill Georg-August-Universität Göttingen \hfill \epsfxsize=2cm}

\vspace{10mm}

\begin{center}
	27. August 2008
\end{center}

\vspace{7mm}
\begin{center}
	\begin{tabular}{rl}
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	  {\it Praktikanten	}  	\	\	& {\bf Johannes Dörr} 	 	 						\\
	  												& \href{mailto:mail@johannesdoerr.de}
	  															 {mail@johannesdoerr.de}	 			  \\
	  												& \href{http://physik.johannesdoerr.de}
	  															 {physik.johannesdoerr.de}				\vspace{2mm} \\
														& {\bf Jan Schumann-Bischoff}						\\
	  												& \href{mailto:jansb.stud@googlemail.com}
	  															 {jansb.stud@googlemail.com}		  \\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Durchführung	}	\	\	& am 21.08.2008				 	 								\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Betreuer			}	\	\	& Alexander Többen											\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	\end{tabular}
\end{center}



\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                       Inhaltsverzeichnis                      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\tableofcontents 

	
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           (Dokument)                          %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Einleitung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

In diesem Versuch soll anhand eines einfachen Aufbaus der Unterschied zwischen dem Fließverhalten 
von newtonschen, strukturviskosen und dilatanten Flüssigkeiten untersucht werden. Insbesondere soll 
die mathematische Beschreibung, welche diese Flüssigkeiten unterscheidet, im Experiment beobachtet 
werden.


%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Theorie}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fließgesetz und Viskositätseigenschaten}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Eine Schubspannung ist definiert als 
\begin{align*}
	\tau = \frac{F}{A} \ ,
\end{align*}
wobei der Kraftvektor aber in der Ebene liegt (Tangentialspannung). Es handelt sich hierbei also
nicht um einen Druck. 


\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=0.50\textwidth]{Bilder/Scherstroemung.jpg}
	\caption{Scherströmung}
	\label{fig:scherstroemung}
\end{figure}

Fluide geben einer solchen Spannung nach. Abbildung \ref{fig:scherstroemung} zeigt
die Änderung des Scherwinkels $\Delta \gamma$ pro Zeiteinheit, was genau dem
Verhältnis von der Geschwindigkeitsänderung $\Delta u$ und dem Abstand 
$\Delta y$ vom ruhenden Rand entspricht:
\begin{align*}
	\dot \gamma = \frac{\diff{\gamma}}{\diff{t}} = \frac{\diff{u}}{\diff{y}} = f(\tau) \ .
\end{align*}
Dies nennt man das {\it Fließgesetz}. Bei sogenannten {\it newtonschen Flüssigkeiten} ist 
dies eine lineare Funktion
\begin{align*}
	\frac{\diff{u}}{\diff{y}} = \frac{1}{\mu} \cdot \tau \ ,
\end{align*}
wobei die dynamische Viskosität $\mu$ konstant ist. Wasser verhält sich beispielsweise
newtonsch. Nicht-newtonsche Flüssigkeiten weisen ein anderes Verhalten auf. Es kann in 
guter Näherung beschrieben werden durch:
\begin{align}
	\frac{\diff{u}}{\diff{y}} = \frac{1}{\mu} \cdot \tau^k = 
		\left( \frac{1}{\mu} \, \tau^{k-1} \right) \cdot \tau =
		\frac{1}{\mu^*} \cdot \tau \ .
\label{eq:fliessnichtnewton}
\end{align}
Dabei ist $k$ eine (stoffabhängige) Konstante. Man hat in diesem Fall also eine Viskosität, 
die von der Schubspannung $\tau$ abhängt: $\mu^*(\tau) = \mu \cdot \tau^{1-k}$. 

Ist $k>1$, so handelt es sich um eine {\it strukturviskose Flüssigkeit}. Wird
die Schubspannung erhöht, so nimmt die Viskosität ab. Dies wird durch eine
Strukturänderung des Fluids verursacht -- waren die oft langkettigen Moleküle
vorher miteinander verzahnt, so löst sich dieser Verbund bei höherer Spannung 
und die Moleküle können leichter aneinander vorbeigleiten. 

{\it Dilatante Flüssigkeiten} weisen das gegensätzliche Verhalten auf, es ist
$k<1$. Die Viskosität steigt mit höherer Schubspannung. Auch hier findet 
eine Strukturänderung statt, die jedoch ein stärkeres Aneinanderhaften 
der Moleküle verursacht. Ein Beispiel für eine sich so verhaltende Flüssigkeit ist 
Stärkebrei, den wir auch im Versuch verwenden werden.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Herleitung der Formel zur Bestimmung von $k$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

In unserem Versuch lassen wir Flüssigkeiten über ein senkrecht stehendes Rohr durch eine kreisförmige Düse mit der Länge $L_\mathrm{D}=\Delta l$ und mit einem Radius $R_\mathrm{D}$ laufen (siehe Abb. \ref{fig:skizze_duese}). 
\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=0.30\textwidth]{Bilder/skizze_duese.PNG}
	\caption{Skizze für die Düse}
	\label{fig:skizze_duese}
\end{figure}
Am unteren Ende der Düse hersche der Druck $p_2$ (durch den Atmosphärendruck gegeben), am oberen Ende $p_1$ (durch die Kraftwirkung der Flüssigkeitssäule gegeben). Zwischen beiden Enden ergibt sich damit der Durckunterschied $\Delta p=p_2-p_1$. Um das Fließverhalten zu beschreiben wählen wir Zylinderkoordinaten. Dabei ist $r$ der Abstand zur Mittelachse der Düse. Die $z$-Achse gibt die Füllhöhe der Flüssigkeitssäule des Rohres an. Aufgrund der Symmetrie der Düse hängt das Fließverhalten nicht von dem Winkel um die $z$-Achse ab. Dieses Rohr habe einen deutlich größeren Radius als die Düse, sodass die am Rohr wirkenden Kräfte beim Aufstellen der Kräftebilanz vernachlässigt werden können. Nach unten drückt die Flüssigkeit eines Flüssigkeitszylinders  mit dem Radius $r$ innerhalb der Düse mit der Kraft $\Delta p\cdot \pi \cdot r^2$. Ihr entgegengesetzt ist die Schubkraft $\tau \cdot 2\pi r\cdot L_\mathrm{D}$, welche proportional zur reibenden Fläche ist. Die Proporionalitätskonstante $\tau$ ist dabei die Schubspannung. Wir erhalten
\begin{align}
	\Delta p \cdot \pi r^2	&=	\tau \cdot 2\pi r\cdot L_\mathrm{D} \notag \\
	\Leftrightarrow	\frac{\Delta p}{L_\mathrm{D}}\cdot \frac{r}{2}	&=	\tau \ . \notag 
\end{align}
Es folgt direkt für die Rohrwand ($r=R_\mathrm{D}$, $\tau=\tau_\mathrm{R}$)
\begin{align}
	\frac{\Delta p}{L_\mathrm{D}}\cdot \frac{R_\mathrm{D}}{2}	&=	\tau_\mathrm{R} 
	\label{eq:zw4} \\
	\Rightarrow \tau															&=	\frac{\tau_\mathrm{R}}{R_\mathrm{D}}\cdot r \ .
	\label{eq:zw2}
\end{align}
Das Volumen $V$ der Flüssigkeit, welches pro Zeit durch die Düse fließt, ist dabei gegeben durch
\begin{displaymath}
	\dot{V}=-\int\diff{A}r\cdot w(r) \ ,
\end{displaymath}
wobei $w(r)$ die Strömungsgeschwindigkeit entlang der $z$-Achse ist. Die hängt aufgrund der Rotationssymmetrie nicht vom Winkel um die $z$-Achse, sondern ausschließlich vom Abstand zu dieser ab. Nach der Integration über dem Winkel und anschließender partieller Integration erhält man
\begin{align}
	\dot{V}	&=	-2\pi \int^{R_\mathrm{D}}_0 \! \diff{r}r\cdot w(r)	\notag \\
					&=	-\pi\left( [r^2w(r)]_0^{R_\mathrm{D}} - \int^{R_\mathrm{D}}_0 \! \diff{r}r^2\cdot \diff[w(r)]{r}\right) \ . \notag
\end{align}
Aufgrund der Haftbedingung ($w(R_\mathrm{D})=0$) fällt der erste Term auf der rechten Seite weg und es ergibt sich mit dem Fließgesetz in Zylinderkoordinaten $f(\tau)=\diff[w(r)]{r}$
\begin{equation}
	\dot{V} = \pi \cdot \int^{R_\mathrm{D}}_0 \! \diff{r} r^2\cdot f(\tau) \ .
	\label{eq:zw1}
\end{equation}
Mit \eqref{eq:zw2} (und damit auch $\diff{\tau}\cdot \frac{R_\mathrm{D}}{\tau_\mathrm{R}}=\diff{r}$) erhalten wir aus \eqref{eq:zw1}
\begin{equation}
	\dot{V}	= \pi \cdot \left(\frac{R_\mathrm{D}}{\tau_\mathrm{R}}\right)^3\cdot \int_0^{\tau_\mathrm{R}}\diff{\tau} \!  f(\tau)\cdot \tau^2 \ .
	\label{eq:zw3}
\end{equation}
Die Druckdifferenz erhält man aus der Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule aus dem Rohr über der Düse und lautet \mbox{$\Delta p=\rho\cdot g \cdot z$}. Damit ergibt sich aus \eqref{eq:zw4}
\begin{equation}
	\tau_\mathrm{R} = \frac{\rho\cdot g \cdot z}{L_\mathrm{D}}\cdot \frac{R_\mathrm{D}}{2} \ .
	\label{eq:zw5}
\end{equation}
Das Rohr habe den Radius $R_\mathrm{G}$. Der Volumenfluss durch das Rohr lautet demnach
\begin{equation}
	\dot{V}_\mathrm{Rohr} = -\pi R_\mathrm{G}^2\cdot \diff[z]{t} \ .
	\label{eq:zw6}
\end{equation}
Der Volumenfluss durch die Düse ist der gleiche wie der Volumenfluss durch das Rohr. Setzen wir also \eqref{eq:zw6} mit \eqref{eq:zw3} gleich und setzten \eqref{eq:fliessnichtnewton} ein, erhalten wir nach der Integration
\begin{align}
	\diff[z]{t}																					&=	-\frac{R_\mathrm{D}^3}{\mu R_\mathrm{G}^2\cdot (k+3)}\cdot \tau_\mathrm{R}^k \notag \\
	\stackrel{\eqref{eq:zw5}}{\Rightarrow} \diff[z]{t}	&=	\underbrace{-\frac{R_\mathrm{D}^3}{\mu R_\mathrm{G}^2\cdot (k+3)}\cdot \left(\frac{\rho g R_\mathrm{D}}{2L_\mathrm{D}}\right)^k}_{C(k,\mu)}\cdot z^k
\label{eq:formel}
\end{align}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Durchführung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Es wird das Fließverhalten von 3 Flüssigkeit untersucht. Dazu werden drei senkrecht aufgestelle Rohre mit jeweils einer Flüssigkeit mit dilatantem (ca. 56g Mondamin auf 100g Wasser), strukturviskosem (Lösung aus Polyacrylamid in Wasser) und newtonschem Verhalten (ca. 120ml Glyzerin auf 100ml Wasser) gefüllt. Am unteren Ende ist jeweils eine Düse (dünnes Rohr) befestigt, durch die die Flüssigkeiten hinaus fließen. Es wird folgendes gemessen/beobachtet:
\begin{itemize}
	\item Die Dichte der drei Flüssigkeiten soll bestimmt werden. Dazu wird jeweils ein festes Volumen der Flüssigeit gewogen und daraus die Dichte errechnet.
	\item	Die drei Rohre werden jeweils mit einer der drei Flüssigkeiten gleich hoch gefüllt. Dann werden gleichzeitig alle drei Düsen geöffnet, so dass alle drei Flüssigkeiten hinaus strömen. Es soll qualitativ beobachtet werden, ob der charakteristischer Unterschied im Fließverhalten zu erkennen ist.
	\item Es wird nacheinander erneut jedes Flüssigkeitsrohr gefüllt und die Düse geöffnet. Es wird alle 5 Sekunden die Füllhöhe des jeweiligen Rohres notiert. Daraus sind $k$ und $\mu$ zu bestimmen.
\end{itemize}


\numberwithin{figure}{subsection}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Auswertung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Qualitative Analyse}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Grundsätzlich gilt: ein hoher Füllstand eines Rohres entspricht einem hohen Druck $\Delta p$, der auf die Flüssigkeit in der Düse wirkt. Dies wiederum entspricht einer großen Kraft, mit der die Flüssigkeit durch die Düse gedrückt wird. Bei allen Flüssigkeiten nimmt mit abnehmender Füllhöhe auch der Druck und damit die Fließgeschwindigkeit ab. Wir hätten folgendes erwartet:
\begin{description}
	\item[strukturviskos:] Bei einer strukturviskosen Flüssigkeit ist die Viskosität bei größerem Druck geringer als bei einem kleineren Druck. Dadurch wäre anfangs ein deutlich schnelleres Sinken des Füllstandes zu erwarten als am Ende.
	\item[dilatant:]	Eine dilatante Flüssigkeit hat bei einem hohen Druck eine große Viskosität und bei einem geringeren Druck eine niedrigere Viskosität. Anfangs wird diese schneller fließen als am Ende, aber der Geschwindigkeitsunterschied ist nicht so groß wie bei einer strukturviskosen Flüssigkeit.
	\item[newtonsch:]	Eine newtonsche Flüssigkeit stellt im Fließverhalten ein Mittel zwischen den beiden oben genannten Flüssigkeiten da. Am Anfang wird diese schneller laufen als am Ende. Allerdings ist der Geschwindigkeitsunterschied zwischen hoher und geringer Höhe nicht so groß wie bei einer strukturviskosen Flüssigkeit, aber stets größer als bei einer Dilatanten
\end{description}

Es war kein großer Unterschied in den Fließgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Füllhöhe zu beobachten. Trotzdem konnten für den jeweiligen Flüssigkeitstyp einige bestimmte Charakteristika beobachtet werden. Insbesondere war zu sehen, dass die strukturviskose Flüssigkeit bei geringer Füllhöhe eine \textit{deutlich} geringere Fließgeschwindigkeit als am Anfang aufwieß. Bei der dilatanten Flüssigkeit war der erwartet geringere Geschwindigkeitsunterschied nicht so deutlich erkennbar wie erwartet. Besonders am Anfang war kaum ein Unterschied zur newtonschen Flüssigkeit zu erkennen. Wichtig ist, dass ein direktes Vergleichen der Geschwindigkeiten der unterschiedlichen Flüssigkeiten keinen Sinn macht. Es war \textit{nicht} zu erwarten, dass die dilatante Flüssigkeit anfangs langsamer und am Ende schneller als die Newtonsche fließt (gilt umgekehrt analog für die dilatante Flüssigkeit). Nur ein Geschwindigkeitsvergleich in einem Rohr zwischen hohem und niedrigem Füllstand macht Sinn!


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Bestimmung von $k$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=0.80\textwidth]{Bilder/verlauf.jpg}
	\caption{Zeitlicher Verlauf der Füllhöhe}
	\label{fig:verlauf}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig:verlauf} zeigt den Verlauf der Füllhöhe in Abhängigkeit von 
der Zeit. Mit \eqref{eq:formel}, nämlich
\begin{align}
	\diff[z]{t} = C(k, \mu) \cdot z^k
\label{eq:formel2}
\end{align}
erhalten wir $k$, indem wir $\diff[z]{t}$ in Abhängigkeit von $z$
auftragen und mit $y=a \cdot x^k$ fitten. Dabei berechnen wir
$\frac{\Delta z}{\Delta t}$ durch Subtrahieren zweier aufeinander 
folgender Füllhöhen und Dividieren durch 5s. Die Fits für die
drei Flüssigkeiten sind Abildung \ref{fig:auftragung} zu
entnehmen. Dabei wurde eine doppellogarithmische Auftragung gewählt,
da sich hierdurch Geraden ergeben:
\begin{align*}
	\ln \diff[z]{t} &= \ln C(k, \mu) + \ln z^k \\
									&= \ln C(k, \mu) + k \ln z \ .
\end{align*}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=0.80\textwidth]{Bilder/auftragung.jpg}
	\caption{Logarithmus der Füllhöhe $z$ in Abhängigkeit vom Logarithmus
					 von\diff[z]{t}.}
	\label{fig:auftragung}
\end{figure}

Wir erhalten für den Exponenten $k$:
\begin{center}
	\begin{tabular}{ll}
		\hline
	  {\bf Flüssigkeit} & {\bf Exponent $k$} 	\\
	  \hline
	  \hline
	  dilatant					&	$0.40244$						\\
	  newtonsch					&	$0.41772$						\\
	  strukturviskos		&	$0.49002$						\\
	  \hline
	\end{tabular}
\end{center}
Leider entsprechen diese Werte nicht den Erwartungen, da wir 
bei der strukturviskosen Flüssigkeit einen Exponenten größer
eins erwarten, und bei der newtonschen einen gleich eins. 
Wenigstens sind die richtigen Größenverhältnisse zu erkennen
-- die dilatante Flüssigkeit hat den kleinsten Exponenten, 
darauf folgt der der newtonschen Flüssigkeit.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Bestimmung der Viskosität}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Mit dem Wert für $C(k, \mu)$ kann nun die Viskosität $\mu$
bestimmt werden, da wir die geometrischen Daten der Apparatur 
kennen:
\begin{align*}
	\mu	=	-\frac{R_\mathrm{D}^3}{C(k,\mu) R_\mathrm{G}^2	\cdot (k+3)}	\cdot 
						\left(\frac{\rho g R_\mathrm{D}}{2L_\mathrm{D}}\right)^k \ .
\end{align*}
$C(k,\mu)$ erhalten wir dabei nach \eqref{eq:formel2} ebenfalls aus dem Fit
(Abbildung \ref{fig:auftragung}).

Die Daten der Apparatur sind durch $R_\mathrm{D}=0.001\mathrm{m}$, $L_\mathrm{D}=0.2\mathrm{m}$,
$g=9.81\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ und $R_\mathrm{G}=0.12\mathrm{m}$ gegeben. Wir erhalten
für die verschiedenen Dichten, die experimentell bestimmt wurden, die verschiedenen
Viskositäten, die in folgender Tabelle dargestellt sind:

\begin{center}
	\begin{tabular}{llll|l}
		\hline
	  {\bf Flüssigkeit} & {\bf Exponent $k$} & {\bf $C(k,\mu)$} & Dichte $\rho$ [$\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$]
	  	& {\bf Viskosität} [$\mathrm{N} \, \mathrm{s} \, \mathrm{m}^{(k-3)}$]\\
	  \hline
	  \hline
	  dilatant					&	$0.40244$					 &	$0.0103$				&	$1104$	&	$\Rightarrow 7.47 \cdot 10^{-06}$ \\
	  newtonsch					&	$0.41772$					 &	$0.0080$				&	$1132$	&	$\Rightarrow 1.02 \cdot 10^{-05}$	\\
	  strukturviskos		&	$0.49002$					 &	$0.0073$				&	$971$		&	$\Rightarrow 1.29 \cdot 10^{-05}$	\\
	  \hline
	\end{tabular}
\end{center}

Da schon die Werte des Exponenten $k$ große Abweichungen aufweisen, ist bei Bestimmung der
Viskosität keine große Zuverlässigkeit zu erwarten.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Diskussion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der Versuch ist bei der Durchführung sehr anschaulich, leider entsprechen die Ergebnisse
des Exponenten nicht den Erwartungen, auf einen Vergleich der Viskositäten haben wir
deshalb verzichtet; auf Grund der nicht exakt festgehaltenen Mischungsverhältnisse der angefertigten
Fluide wäre dies auch sonst nicht möglich gewesen.


\end{document}