\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{graphicx} \usepackage{subfigure} \usepackage{a4wide} \usepackage{esvect} \usepackage{pstricks} \usepackage{pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{multicol,epsf} \usepackage{ae,aecompl} \usepackage{helvet} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \usepackage{bbm} \usepackage[mathcal]{euscript} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{hyperref} \definecolor{linkcolor}{rgb}{0,0,0} \hypersetup{colorlinks=true, breaklinks=true, linkcolor=linkcolor, menucolor=linkcolor, urlcolor=linkcolor, citecolor=linkcolor, bookmarksopen=true, bookmarksnumbered=false} \numberwithin{equation}{section} \numberwithin{figure}{section} \pagestyle{headings} \begin{document} \newcommand{\diff}[1]{ \, \mathrm{d} #1 \, } \newcommand{\re}{ R \! \hspace{1mm} \! e } \newcommand{\st}{ S \! \hspace{1mm} \! t } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Titelseite % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \normalsize \rule{0mm}{0,4cm} \thispagestyle{empty} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.4]{DLR.png} \label{DLR} \end{figure} \normalsize \begin{center} \Huge Versuch 1 \\[5mm] \LARGE {\bf Bestimmung des Umschlagpunktes laminar-turbulent bei einer Rohrströmung (Reynoldsversuch)} \end{center} \normalsize \vspace{5mm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Strömungsmechanisches Praktikum} \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill Georg-August-Universität Göttingen \hfill \epsfxsize=2cm} \vspace{10mm} \begin{center} 21. August 2008 \end{center} \vspace{7mm} \begin{center} \begin{tabular}{rl} \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Praktikanten } \ \ & {\bf Johannes Dörr} \\ & \href{mailto:mail@johannesdoerr.de} {mail@johannesdoerr.de} \\ & \href{http://physik.johannesdoerr.de} {physik.johannesdoerr.de} \vspace{2mm} \\ & {\bf Jan Schumann-Bischoff} \\ & \href{mailto:jansb.stud@googlemail.com} {jansb.stud@googlemail.com} \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Durchführung } \ \ & am 20.08.2008 \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Betreuer } \ \ & Benedikt Over \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inhaltsverzeichnis % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tableofcontents \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % (Dokument) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Einleitung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% In diesem Versuch werden die kritischen Reynoldszahlen bestimmt, bei denen eine Rohrströmung von laminar zu turbulent und umgekehrt wechselt. Die Strömung wird dabei durch Einleiten eines dünnen Farbstrahls sichtbar gemacht. %%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Theorie} %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Laminare und turbulente Strömung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[h] \begin{minipage}[hbt]{6cm} \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/laminar.png} \caption{Laminare Strömung} \label{fig:laminar} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[hbt]{9cm} \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/laminar-turbulent.jpg} \caption{Sichtbarmachen der Strömung mit einem eingeleiteten Farbstoff} \label{fig:laminarturbulent} \end{minipage} \end{figure} Bei einer {\it laminaren Strömung} bewegt sich das Fluid in sich nicht vermischenden Schichten (Abb. \ref{fig:laminar}). Dabei können die Geschwindigkeiten jedoch durchaus von Schicht zu Schicht unterschiedlich sein. Bringt man einen feinen Farbstoffstrahl in das laminar fließende Fluid, so ist zu erkennen, dass dieser Strahl ohne Turbulenz mitströmt (Abb. \ref{fig:laminarturbulent}). Eine {\it turbulente Strömung} hingegen kann sich durchmischen. Es bilden sich Wirbel, die sich mit der Strömung mitbewegen. Wann eine Strömung turbulent wird, kann über die Reynoldszahl bestimmt werden, die im nächsten Abschnitt behandelt wird. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Gesetz von Hagen-Poiseuille} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Wir betrachten ein mit einer Flüssigkeit (Wasser) gefülltes Rohr mit dem Radius $R$ und der der Länge $L$. Zwichen dem linken und dem rechten Ende des Rohes hersche der Druckunterschied $\Delta p$. Diese verursacht ein Fließen vom Ende des hohen zum Ende des niedrigeren Drucks. Wir betrachten den idealisierten Fall, dass es keinen Bereich gibt, in dem die Strömung ihr Geschwindigkeitsprofil erst ausbilden muss. Desweiteren handele es sich um eine laminare und stationäre Strömung, deren Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zum Rohr überall Null sind. Aufgrund der Rotationssymmetrie des Rohres können wir annehmen, dass die Geschwindigkeit der Fluidteilchen im Abstand $r$ von der Mittelgeraden überall gleich ist. Deshalb zerlegen wir das Rohr in Hohlzylinder der Dicke $\diff{r}$. Alle Fluidteilchen in einem Hohlzylinder haben die Geschwindigkeit $u(r)$. Auf einen Hohlzylinder (mit allen inneren Zylindern) wirkt die durch die Druckdifferenz verursachte Kraft \begin{displaymath} F_\mathrm{p}=\Delta p\cdot A=\pi r^2 \cdot \Delta p \ . \end{displaymath} Wann findet experimentell, dass die Reibungskraft proportional zur eibenden Fläche $A'$ und zum Geschwindigkeitsgradienten ist, also \begin{displaymath} F_\mathrm{R}=-\eta A' \cdot \frac{\diff{u}}{\diff{r}} \ , \end{displaymath} wobei die Proportionalitätskonstante $\eta$ die dynamische Viskosität ist. $A'=2\pi r L$ ist dabei die Oberfläche des Hohlzylinders mit dem Radius $r$, welche an dem Hohlzylinder bei $r+\diff{r}$ mit der Geschwindigkeitsdifferenz $\diff{u}$ reibt. Gleichsetzen liefert das Kräfteverhältnis \begin{align} \pi r^2 \cdot \Delta p &= -\eta 2\pi r L\frac{\diff{u}}{\diff{r}} \notag \\ \Rightarrow \diff{u} &=-\frac{\Delta p \cdot r}{2\eta L}\diff{r} \ . \label{eq:zw1} \end{align} Aufgrund der Haftbedingung ist $u(R)=0$. Integrieren wir damit \eqref{eq:zw1} von $r$ bis $R$, erhalten wir \begin{align} u(R)-u(r) &= -\int_r^R \frac{\Delta p \cdot r}{2\eta L}\diff{r} \notag \\ u(r) &= \frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2) \label{eq:geschw_rohr} \end{align} Der Durchfluss $Q(R)$, also die Flüssigkeitsmenge, welche pro Zeiteinheit durch das Rohr strömt, ist dabei gegeben durch die Summe (das Integral) der Durchflüsse durch jeden einzelnen Hohlzylinder (diese beträgt $u(r)\cdot 2\pi r \diff{r}$), also \begin{align} Q(R) &= \int_0^R u(r)\cdot 2\pi r \diff{r} \notag \\ \Rightarrow Q(R) &= \frac{\Delta p \pi}{8\eta L}R^4 \label{eq:hagenpoi} \end{align} \eqref{eq:hagenpoi} ist dabei das Gesetz von Hagen-Poiseuille. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Reynoldszahl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die Reynoldszahl eines Systems berechnet sich aus \begin{align} \re = \frac{\rho \cdot v \cdot l}{\eta} = \frac{v \cdot l}{\nu} \ , \label{eq:reynoldszahl} \end{align} wobei $\rho$ die Dichte des Fluids, $v$ die Strömungsgeschwindigkeit, $l$ eine charakteristische Länge, $\eta$ die charakteristische dynamische Viskosität und $\nu = \frac{\eta}{\rho}$ die charakteristische kinematische Viskosität ist. Die (dimensionslose) Größe gibt das Verhältnis zwischen Trägsheits- und Reibungskraft in der Flüssigkeit an. Pauschal kann man sagen, dass eine Strömung turbulent ist, wenn die Trägheitskraft wesentlich größer als die Reibungskraft ist, wenn sie also sehr stark beschleunigt wird. Im umgekehrten Fall liegt in der Regel eine laminare Strömung vor. Betrachtet man die Strömung in einem Rohr, so entspricht die charakteristische Länge dem Durchmesser. Bei Reynoldszahlen über $\re_\mathrm{krit} \approx 2320$ liegt dann in der Regel eine turbulente Strömung vor. In diesem Versuch werden wir diesen Richtwert experimentell überprüfen. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Durchführung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Von einem großen Wasserbehälter fließt Wasser in ein langes (durchsichtiges) Rohr. Über ein dünnes Röhrchen kann Lebensmittelfarbe in die Strömung eingeleitet werden, mit der die Strömungsverhalten sichtbar wird. Der Versuch besteht aus zwei Teilen: \begin{enumerate} \item Durch Variieren des Ventils kann die Strömungsgeschwindigkeit vorgegeben werden. Durch Beobachten des Farbfadens wird die Ventilstellung gesucht bei der die Strömung gerade turbulent wird. Ebenso wird die Stellung gesucht, bei der die Strömung gerade laminar wird. Es erfolgt also sowohl eine Annäherung von oben als auch von unten. Nach Einstellen des Ventils wird die Strömungsgeschwindigkeit durch Messen der Menge des ablaufenden Wassers aufgenommen. \item Im zweiten Teil wird untersucht, wie sich die Geschwindigkeit an verschiedenen Orten des Rohres unterscheidet. Dazu wird die Zeit gemessen, die der Farbfaden benötigt, um verschiedene Markierungen zu erreichen. \end{enumerate} \numberwithin{figure}{subsection} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Auswertung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Teil 1 - Reynoldszahl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Es soll bestimmt werden, für welche Reynoldszahl die Rohrströmung gerade noch laminar, bzw. für welche die Strömung sicher turbulent ist. Dazu haben wir die Durchflussgeschwindigkeit langsam erhöht, bis ein eindeutig turbulentes Verhalten zu erkennen war, bzw. von einer starken turbulenten Strömung die Geschwindigkeit langsam gedrosselt, bis sich eine sicher laminare Strömung eingestellt hat. Den Bereich zwischen den beiden Größen nennt man \textit{Intermittenzbereich}. Zur Bestimmung der Durchflussgeschwindigkeit $u$ haben wir gemessen, welches Volumen $V$ in welcher Zeit $t$ durch das Rohr strömt. Der Radius des Rohres ist $r=l/2=0.6\mathrm{cm}$, die Querschnittsfläche also $A=\pi r^2$. Es ist somit \begin{displaymath} u\cdot A=\frac{V}{t} \ . \end{displaymath} Es ergibt sich dabei für die Reynoldszahl, wobei die charakteristische Länge $l$ der Durchmesser des Rohres ist, \begin{equation} \re=\frac{ul}{\nu}=\frac{2V}{\pi \nu rt} \ . \label{eq:reynold_versuch} \end{equation} Die kinematische Viskosität von Wasser bei Raumtemperatur ist etwa $\nu=1\cdot 10^{-6}\mathrm{m}^2/\mathrm{s}$. Wir erhalten für $\re$, wenn die Strömung gerade noch laminar ist, \begin{displaymath} \re_\mathrm{lam}=2318(46) \ , \end{displaymath} und wenn die Strömung eindeutig turbulent ist \begin{displaymath} \re_\mathrm{turb}=3056(40) \ . \end{displaymath} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Teil 2 - Geschwindigkeitsmessung der Strömung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% In diesem Teil wollen wir die Fließgeschwindigkeit $u$ des Wassers in Abhängigkeit von der Entfernung zum Wassergefäß bestimmen. Dazu haben wir das Rohr in drei Bereiche eingeteilt, wobei sich Bereich 1 direkt am Wassergefäß befindet, Bereich 2 dahinter und Bereich 3 der letzte Bereich ist (also am weitesten vom Gefäß entfernt). Die Abhängigkeit von $u$ und der Entfernung vom Wassergefäß haben wir für zwei Abflussgeschwindigkeiten bestimmt (siehe Tab. \ref{tab:teil2}). \begin{table}[htbp] \centering \begin{tabular}{l|l|c|c} \multicolumn{2}{c|}{} & \textbf{Abflussgeschw. 1} & \textbf{Abflussgeschw. 2} \\ \hline \hline Bereich & Länge [cm] & $u_1$ [m/s] & $u_2$ [m/s]\\ \hline 1 & 108.5 & 0.252(40) & 0.320(54) \\ 2 & 49 & 0.278(49) & 0.316(312) \\ 3 & 50 & 0.294(92) & 0.325(183) \end{tabular} \caption{Fließgeschwindigkeiten $u_{1,2}$ für die drei Bereiche und für zwei Abflussgeschwindigkeiten} \label{tab:teil2} \end{table} Es ist für die 1. Abflussgeschwindigkeit zu erkennen, dass sich mit zunehmenden Abstand vom Wassergefäß die Fließgeschwindigkeit erhöht. Für die zweite Abflussgeschwindigkeit ist zu erkennen, dass $u_2$ im dritten Bereich größer als im Ersten ist. Im zweiten Bereich ist $u_2$ am kleinsten. Die Geschwindigkeitszunahme ist damit zu erklären, dass direkt nach dem Einlaufen des Wassers in das Rohr die Strömung noch nicht laminar, sondern turbulent ist. Das parabelförmige Geschwindigkeitsprofil (vgl. \eqref{eq:geschw_rohr}) im Rohr bildet sich erst allmählich aus. Das $u_2$ im zweiten Bereich kleiner als im Ersten ist, kann auf Messfehler zurückgeführt werden, da sich dass Ablesen an den Markierungen als extrem schwierig und fehlerbehaftet erwieß. Die spiegelt sich auch in dem großen Fehler wieder. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Diskussion} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dieser Versuch war relativ einfach in der Durchführung. Trotzdem spiegeln die Ergebnisse das korrekte strömungsmechanische Verhalten wieder, welches in der Theorie dargestellt wurde. Im ersten Teil wurde die Reynoldszahl, für die die Strömung sicher noch laminar ist, mit 2318(46) bestimmt. Ein Wert im Bereich um 2300 ist auch zu erwarten gewesen. Der Wert, für den die Strömung noch sicher turbulent ist, muss natürlich größer sein. Auch dies wurde bestätigt. Im zweiten Teil sollte das Geschwindigkeitsprofil innerhalb des Rohres untersucht werden. Wir kamen zum Ergebnis, dass sich die Fließgeschwindigkeit mit zunehmenden Abstand vom Wassergefäß erhöht, und konnten dies auch erklären. \end{document}