\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{graphicx} \usepackage{subfigure} \usepackage{a4wide} \usepackage{esvect} \usepackage{pstricks} \usepackage{pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{multicol,epsf} \usepackage{ae,aecompl} \usepackage{helvet} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \usepackage{bbm} \usepackage[mathcal]{euscript} \usepackage{booktabs} \usepackage{pdfpages} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{hyperref} \definecolor{linkcolor}{rgb}{0,0,0} \hypersetup{colorlinks=true, breaklinks=true, linkcolor=linkcolor, menucolor=linkcolor, urlcolor=linkcolor, citecolor=linkcolor, bookmarksopen=true, bookmarksnumbered=false} \numberwithin{equation}{section} \numberwithin{figure}{section} \pagestyle{headings} \begin{document} \newcommand{\diff}[1]{ \, \mathrm{d} #1 \, } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inhaltsverzeichnis % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tableofcontents \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % (Dokument) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Was ist Synchronisation?} \subsection{Beispiele} Das Phänomen der Synchronisation tritt vielfach in der Natur auf. Ein gut demonstrierbares Beispiel sind zwei Metronome, die auf einem beweglichen Untergrund aufgestellt sind. Beide Metronome besitzten jeweils eine Eigenfrequenz, die auf Grund kleiner bautechnischer Abweichungen nicht identisch sind. Auf Grund der Kopplung durch den Untergrund beobachtet man trotzdem, dass beide Metronome im Gleichtakt schwingen. Eine noch eindrucksvollere, jedoch unbeabsichtigte ``Demonstration'' der Synchronisationen ergab sich bei der Einweihung der Millenium Bridge in London am 10. Juni 2000. Nachdem sich eine große Zahl Besucher über die Brücke bewegte, wurde diese aus zunächst unerklärlicher Ursache in Schwingung versetzt. Die spätere Erklärung: Die Eigenfrequenz der Brücke entspricht ungefähr der Trittfrequenz der Passanten. Gerät die Brücke erst einmal leicht in Schwingung, so passen die Fußgänger ihren Schritt automatisch an, um im Gleichgewicht zu bleiben. Dies verstärkt die Schwingungsamplitude. Gelöst wurde das Problem durch die Nachrüstung von Dämpfern. Weitere Beispiele: In der freien Natur, genauer in Regionen Südostasiens, findet man Scharen von Glühwürmchen, die alle im Gleichtakt blinken, ohne dass ein ``Dirigent'' zu finden wäre. Offenbar adjustiert jedes Glühwürmchen seine eigene Blinkfrequnz auf die seiner Nachbarn. Auch der Tagesrythmus von Mensch und Tier wird synchronisiert, er ist gekoppelt an die Bewegung der Sonne, durch die Tag und Nacht entsteht. Dennoch weisen auch Probanden, die längere Zeit gänzlich vom Außenlicht abgeschlossen werden, einen solchen Rythmus auf, der im Durchschnitt aber eine längere Periodendauer hat. Hier sieht man, dass es offenbar zwei Arten von Synchronisation gibt: Bei der einseitigen Synchronisation wird ein System von einem anderen beinflusst (Master/Slave), während das erste unabhängig bleibt. Bei der globalen Synchronisation beeinflussen sich mehrere Systeme gegenseitig (all-to-all). Obwohl Synchronisation schon 1665 von Christian Huygens, der diese an Pendeluhren entdeckte, beschrieben wurde, wurde das Thema erst zu Anfang des 20. Jahrhunders wieder aufgegriffen, nachdem Lord Rayleigh beobachtete, dass zwei nebeneinander angebrachte, leicht verstimmte Orgelpfeiffen denselben Ton abgeben, anstatt dass eine Schwebung hörbar wird (diese tritt erst bei größerer Frequenzdifferenz auf). \subsection{Voraussetzungen für Synchronisation} Synchronisation tritt nur bei selbsterregten Schwingungen auf, bei denen die Energie nicht erhalten, genauer gesagt ein Energiereservoir sowie Reibung (Dissipation) vorhanden ist. Dies erklärt wahrscheinlich auch die späte Betrachtung des Phänomens, da vorher vor allem konservative Systeme im Zentrum des wissenschaftlichen Interesses standen. Die wichtige Voraussetzung ist also, dass die beteiligten Systeme auch unabhängig von einander schwingen. Ein Gegenbeispiel ist das Wolf-Hase-System. Ein großes Vorkommen von (hungrigen) Wölfen führt zum Rückgang der Hasenpopulation, welcher wiederum immer weniger Wölfen ein Überleben ermöglicht. Dadurch wird der Hasenbestand wieder ansteigen. Bei den Schwankungen der Population von Hase und Wolf kann nicht von Synchronisation gesprochen werden, da nach einer Separation der einzelnen Populationen keine solche Schwingung auftreten würde. Periodische Bewegungen von konservative Systeme bilden im Phasenraum geschlossene Kurven. Wird ihre Amplitude gestört, so bleibt die Änderung im weiteren Verlauf erhalten. Selbsterregte Schwingungen besitzten hingegen die wichtige Eigenschaft der Stabilität, ihre Amplitude hängt nicht vom Anfangswert ab und kehrt auch nach einer Störung wieder zu einem festen Wert zurück (siehe Abbildung \ref{fig:amplitude}). Im Phasenraum bedeutet dies eine Annäherung an den {\it Limit Cycle}. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{../IMG_3115.JPG} \caption{Verhalten der Amplitude einer selbsterregten Schwingung} \label{fig:amplitude} \end{figure} Dieses Verhalten ist nur bei nichtlinearen Systemen möglich. Ist bei linearen Systemen eine Energiequelle oder eine Dissipation vorhanden, so führt diese immer zu einer divergenten oder konvergeten Lösung, jedoch nie zu einer Annäherung an einen Limit Cycle. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{../IMG_3131.JPG} \caption{Beispiel für zu starke Kopplung} \label{fig:starkekopplung} \end{figure} Eine weitere Eigenschaft der selbsterregten Schwingung ist die Freiheit der Phase. Wird ein selbsterregter Schwinger für kurze Zeit angehalten, so setzt dieser danach seine Bewegung fort, ohne dass er versucht, den entstandene Phasenverlust aufzuholen. Trivialerweise ist es auch erforderlich, dass es sich bei beiden System immernoch um nahezu unabhängige Oszillatoren handelt. Abbildung \ref{fig:starkekopplung} zeigt exemplarisch, wann dies nicht mehr der Fall ist. Dennoch ist die Abschätzung an dieser Stelle oft nicht einfach und keinesfalls eine konkrete Grenze festgelegt. \subsection{Relevante Größen} ... (Thomas) ... \section{Einseitige Synchronisation} ... (Thomas) ... \subsection{Definition der Phase} ... (Thomas) ... \subsection{Phasendynamik} ... (Thomas) ... \begin{equation} \frac{\diff{\Psi}}{\diff{t}} = - \nu + \epsilon \, q(\Psi) \label{eq:phase} \end{equation} Wir betrachten nun den Verlauf der Phasendifferenz $\Psi$ zwischen Master und Slave. Da $q(\Psi)$ eine $2\pi$-periodische Funktion ist, besitzt sie einen minimalen und einen maximalen Wert ($q_{\mathrm{min}}$ und $q_{\mathrm{max}}$). Falls die Relation \begin{equation} \epsilon \, q_{\mathrm{min}} \leq \nu \leq \epsilon \, q_{\mathrm{max}} \end{equation} erfüllt ist, so gibt es Werte für $\Psi$, bei denen $\epsilon \, q(\Psi) = \nu$ gilt. Dort ist nach Gleichung \eqref{eq:phase} die Phasendifferenz konstant ({\it Phase Locking}). Bei geeigneter Frequenzdifferenz $\nu$ wird die Phasendifferenz $\Psi$ also konstant, die Oszillatoren laufen synchron. Ist $\nu$ jedoch zu groß, kann keine Synchronisation stattfinden. Dies erkennt man gut an Abbildung \ref{fig:phasendynamik}. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1.0\textwidth]{../IMG_3117.JPG} \caption{Phasendynamik: stabile Punkte der Phasendifferenz sind ausgefüllt, instabile als Kreis dargestellt. Die Frequenzdifferenz wird in den Grafiken von links nach rechts größer.} \label{fig:phasendynamik} \end{figure} Es können sich offenbar mehrere Punkte ausbilden, bei denen $\dot{\Psi} = 0$ gilt. Einige davon sind stabil (ausgefüllter Punkt), andere instabil (Kreis), wie man sich leicht klarmacht, indem man die Werte der Ableitung geringfügig neben den Nullstellen betrachtet. \subsection{Arnold-Zunge} Der Bereich, in dem Synchronisation stattfindet, lässt sich sehr gut darstellen, indem man die Differenz von der beobachteten Frequenz des Schwingers (Slave) und der des Masters, also $\Omega - omega$, in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz $\omega$ aufzeichnet (siehe Abbildung \ref{fig:arnoldzunge}, links). Den Synchronisationsbereich findet man an der Stelle, an der der Graph auf der x-Achse verläuft. Dieser Bereich wird bei stärkerer Kopplung $\epsilon$ größer, was in der mittleren Abbildung zu sehen ist. Die {\it Arnold-Zunge} (rechte Abbildung) gibt dann Auskunft, wie stark die Kopplung sein muss, damit der Schwinger mit dem Master synchronisiert -- nämlich genau dann, wenn der Punkt $(\omega, \epsilon)$ innerhalb des grauen Bereichs liegt. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1.0\textwidth]{../IMG_3120.JPG} \caption{Die Differenz $\Omega-\omega$ in Abhängigkeit von $\omega$ und $\epsilon$. $\omega_0$ bezeichnet die Eigenfrequenz des Slaves. Den grauen Bereich im Plot rechts nennt man Arnold-Zunge.} \label{fig:arnoldzunge} \end{figure} \subsection{Übergang zur Synchronisation} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../IMG_3121.JPG} \caption{Übergang zum synchronisierten Bereich} \label{fig:uebergang} \end{figure} Abbildung \ref{fig:uebergang} zeigt den Übergang zur Synchronisation, wenn sich die Master-Frequenz der Eigenfrequenz des Slaves nähert bzw. sich wieder von ihr entfernt. Links ist dargestellt, ob sich der jeweilige Punkt innerhalb oder außerhalb der Arnold-Zunge befindet. Rechts ist zu erkennen, dass die Phasen innerhalb eine konstante Differenz aufweisen, während etwas außerhalb {\it Phase Slips} auftreten, bei denen der Slave eine Periode mehr durchläuft bzw. eine auslässt. Die Bereiche zwischen den Phase Slips sind jedoch nicht konstant, wie die Abbildung vielleicht suggeriert. Tatsächlich nimmt die Phasendifferenz minimal zu (bzw. ab), bis schließlich ein schneller ``Sprung'' die zusätzliche (ausgelassene) Periode vollendet. Die Frequenz, mit der die Phase Slips auftreten, errechnet sich aus \begin{equation} \Omega_\Psi = \Omega - \omega \end{equation} und wird {\it Beat Frequency} genannt. \subsection{Vorstellung als Potential} ... (Thomas) ... \subsection{Stroboskopische Beobachtung} ... (Thomas) ... \subsection{Synchronisation höherer Ordnung} ... (Thomas) ... \subsection{Arnold-Zungen für höhere Ordnungen} Da Synchronisation auch für andere Frequenzverhältnisse möglich ist, \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../IMG_3126.JPG} \caption{Arnold-Zungen für höhere Ordnungen} \label{fig:arnoldzungehoehere} \end{figure} \section{Globale Synchronisation} Findet die Synchronisation in beide Richtungen statt, so ``einigen'' sich die Oszillatoren auf eine gemeinsame Frequenz. Insbesondere kann es auch passieren, dass die Oszillation beider Systeme ganz erlischt ({\it Quenching}), da die durch die Kopplung zusätzlich entstehenden Energieverluste größer sind als dass sie von den Energiequellen ausgeglichen werden könnten. Bei der globalen Synchronisation betrachtet man zudem oft nicht nur zwei sondern eine Vielzahl von Systemen, die unterschiedlich stark miteinander wechselwirken. Im folgenden Abschnitt wird die Idee des hierzu verwendeten {\it Kuramoto-Modells} skizziert. \subsection{Kuramoto-Modell} Für zunächst zwei Oszillatoren lauten die Gleichungen: \begin{equation} \frac{\diff{\mathbf{x}}^{(1)}}{\diff{t}} = \mathbf{f}^{(1)} \! \left(\mathbf{x}^{(1)}\right) + \epsilon \, \mathbf{p}^{(1)} \! \left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right) \ , \ \ \frac{\diff{\mathbf{x}}^{(2)}}{\diff{t}} = \mathbf{f}^{(2)} \! \left(\mathbf{x}^{(2)}\right) + \epsilon \, \mathbf{p}^{(2)} \! \left(\mathbf{x}^{(2)}, \mathbf{x}^{(1)}\right) \ \ . \end{equation} Beide enthalten einen Wechselwirkungsterm, der von den $\mathbf{x}$ beider Systeme abhängt, jedoch nicht mehr von der Zeit, wie es bei der einseitigen Synchronisation der Fall war. Hier kann auch eine Asymmetrie vorliegen, bei der der eine Oszillator von dem anderen schwächer beeinflusst wird als umgekehrt. Für die Änderung der Phase bei $N$ Oszillatoren erhalten wir auf analogem Wege wie oben für die Änderung der Phase des $k$-ten Oszillators: \begin{equation} \frac{\diff{\phi_k}}{\diff{t}} = \omega_0^{(k)} + \frac{\epsilon}{N} \sum\limits_{j=1}^{N} \sin(\phi_j-\phi_k) \ \ . \end{equation} Dieser Ausdruck hängt von allen anderen Oszillatoren ab, was ihn ziemlich unhandlich macht. Die Idee ist jetzt, jeden Oszillator im Einfluss eines mittleren Feldes \begin{equation} K \, e^{i \Theta} = \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^N e^{i \phi_k} \end{equation} mit Amplitude $K$ und Phase $\Theta$ zu betrachten, das sich rechnerisch aus trigonometrischen Umformungen ergibt. Hiermit erhält man: \begin{equation} \frac{\diff{\phi_k}}{\diff{t}} = \omega_0^{(k)} + \epsilon K \sin (\Theta - \omega_k) \ \ . \end{equation} Der Faktor $K$ ist hierbei eine Größe, die über das Ausmaß der Synchronisation Auskunft gibt. Sind die Phasen der Oszillatoren gleichverteilt, dann ist dieser Parameter für sehr große $N$ nahezu null. Steigt jedoch die Ordnung, so vergrößert sich auch $K$. Ist das Enseble vollständig synchronisiert, konvergiert er gegen eins. Die Größe von $K$ hängt mit der Kopplungsstärke $\epsilon$ zusammen. Man kann zeigen, dass $K$ sehr klein bleibt und erst dann größer wird, wenn $\epsilon$ einen kritischen Wert überschreitet. Dieser {\it Kuramoto-Übergang} ist in Abbildung \ref{fig:kuramoto} dargestellt. Es lassen sich durchaus Parallelen zu einem Phasenübergang finden, wobei es sich hierbei jedoch nicht um einen stochastischen Prozess handelt. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{../IMG_3188.JPG} \caption{Kuramoto-Übergang} \label{fig:kuramoto} \end{figure} \section{Abhörsichere Datenübertragung mit Lasern} Leitet man einen kleinen Teil des Lichts, das ein Laser A emittiert, wieder zurück, zum Beispiel mit Hilfe eines halbdurchlässigen Spiegels, so weist sein elektromagnetisches Feld plötzlich chaotisches Verhalten auf. Dieses kann durch die Differentialgleichungen \begin{align*} \frac{\diff{E_A}}{\diff{t}} &= \frac{1}{2} G_N n_A E_A(t) + \frac{C_{sp} \gamma [N_{sol} + n_A(t)]}{2 E_A(t)} \\ &+ \kappa E_A(t-\tau) \cos[\omega_0 \tau + \Phi_A(t) - \Phi(t-\tau)] \\ &+ \sigma E_B(t-\tau_C) \cos[\omega_0 \tau + \Phi_A(t)-\Phi_B(t-\tau_C)] \\ \frac{\diff{\Phi_A}}{\diff{t}} &= \frac{1}{2} \alpha G_N n_A - \kappa \frac{E_A(t-\tau)}{E_A(t)} \sin[\omega_0 \tau + \Phi_A(t) - \Phi(t-\tau) ] \\ &- \sigma \frac{E_B(t-\tau_C)}{E_A(t-\tau)} \sin [\omega_0 \tau + \Phi_A(t) - \Phi_B(t-\tau_C)] \\ \frac{\diff{n_A}}{\diff{t}} &= (p-1) J_{th} - \gamma n_A(t) - [\Gamma + G_N n_A(t)] E_A^2 (t) \end{align*} beschrieben werden, wobei wir zunächst $\sigma=0$ setzten. Dabei sind $E_A$ das Feld, $\Phi_A$ die Phase und $n_A$ die Besetzungszahl des angeregten Energieniveaus vom Laser A. Die übrigen Parameter sind weitere Eigenschaften des Lasersystems, deren Werte weiter unten aufgeführt werden. $\kappa$ gibt an, wie viel des Lichts des Lasers in ihn zurück gespiegelt wird, und $\tau$ ist ein Maß für die Laufzeit der Photonen zwischen Laser und Spiegel. Das System kann durch einen zweiten solchen Laser (Laser B) erweitert werden, wobei ein Teil seines Strahls in Laser A geführt wird. Dies wäre der unidirektionale Fall mit Hilfe einer optischen Diode. Im bidirektionalen Fall wird diese weggelassen, sodass auch umgehert das Licht von Laser A zu Laser B gelangen kann. Ist so eine Kopplung mit einem weiteren Laser vorhanden, dann gibt $\sigma$ an, wie viel Licht von diesem bei Laser A ankommt. $\tau_C$ ist der Parameter für die Laufzeit des Lichts zwischen den Systemen. Ist Laser A an mehrere Laser gekoppelt, so müssen weitere dieser Kopplungsterme, im Allgemeinen mit unterschiedlichen $\sigma$, hinzugefügt werden. Für jeden zusätzlichen Laser erweitert sich das Differentialgleichungssystem um drei weitere Gleichung der obigen Form. Um dieses Apparatur zum Datenaustausch zu verwenden, gibt es zwei Möglichkeiten. Beim {\it Chaos Masking} wird das E-Feld des Laserstrahls, der von dem einen Laser (Sender) zum anderen (Empfänger) geleitet wird, mit einer Message moduliert. Da der Empfänger mit dem Sender synchronisiert und ihre E-Felder somit gleich sind, kann er die Nachricht rekonstruieren, indem er sein eigenes E-Feld von dem Feld des empfangenen Signals subtrahiert. Dies setzt natürlich voraus, dass die Laser trotz ``Störung'' ihrer Kommunikationsleitung synchron bleiben. Hat die übertragene Nachricht eine kleine Amplitude, so ist die Message schwer bzw. gar nicht rekonstruierbar, ohne die chaotische Dynamik der Laser zu können. Es ist also ein mit dem Sender synchronisierter Empfänger nötig, um die Nachricht zu entschlüsseln. Als {\it Chaos Modulation} bezeichnet man das Verfahren, bei dem ein Parameter des Sender-Lasers moduliert wird, und nicht ``nur'' die Verbindung. Da wir diese Vorgehensweise jedoch nicht betrachtet haben, soll sie hier nicht weiter erläutert werden. Sowohl im unidirektionalen als auch im bidirektionalen Fall der Kopplung zwischen zwei Lasern kann durch geeignete Wahl der Parameter erreicht werden, dass das chaotische Verhalten beider Laser synchronisiert. Die Idee, dieses Verhalten auszunutzen, um Daten abhörsicher zu übertragen, geht davon aus, dass ein Eindringling ``Eve'' sich nur unidirektional in das bidirektionale System zwischen den Kommunikationspartnern ``Alice'' und ``Bob'' einkoppelt (siehe Abbildung \ref{fig:dreilaser}), um das Verhalten des Systems nicht zu verändern und unerkannt zu bleiben.\footnote{Auf welche Weise ``Alice'' und ``Bob'' den Eindringling erkennen könnten, ist eine andere Frage, denn sie müssten zwischen dem chaotischen Verhalten ihres Zweier-Systems und dem des Dreier-Systems mit ``Eve'' unterscheiden können.} Dann gilt es, Parameter zu finden, bei denen nur eine bidirektionale Kopplung zur Synchronisation führt, jedoch keine unidirektionale. Damit wäre das Abhören ausgeschlossen. Grundlegend hierbei ist, dass sämtliche Parameter öffentlich sind und nicht geheim gehalten werden müssen. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../drei_laser.jpg} \caption{Laser A und B sind bidirektional gekoppelt, Laser C unidirektional über optische Diode (OD).} \label{fig:dreilaser} \end{figure} \section{Programmierung der betrachteten Systeme mit Matlab} Um das Synchronisationsverhalten für unterschiedliche Konstellationen numerisch zu simulieren, setzen wir Matlab ein, das einen Lösungsalgorithmus für Differentialgleichungssysteme mit Zeitverzögerung zur Verfügung stellt. Um die Programmierung der DGLs für Systeme mit mehreren Lasern zu vereinfachen, haben wir dies automatisiert, sodass nur einmal allgemein angegeben werden muss, wie die DGL für einen Laser lautet sowie welcher Kopplungsterm hinzukommt. Anschließend können Laser ``erstellt'' und miteinander gekoppelt werden, und der Matlab-Lösungsalgorithmus bekommt das entsprechende Differentialgleichungssystem übergeben. \section{Ergebnisse} \subsection{Einzelner Laser} Abbildung \ref{fig:singlelaser} zeigt die Simulation des Verlaufs von Betrag des Feldes und Phase. Das chaotische Verhalten des Feldes ist gut zu erkennen. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1.0\textwidth]{../daten/laser_single/figures/exec_2.png} \caption{Feld und Phase eines einzelnen Lasers.} \label{fig:singlelaser} \end{figure} \subsection{Zwei Laser: Einseitige Kopplung} Abbildung \ref{fig:masterslave} zeigt ein Master/Slave-System, also eine einseitige Kopplung. Beide Laser haben ein chaotisches Verhalten des Feldes. An dem Plot der Differenz (links unten) sieht man, dass Synchronisation eintritt, diese jedoch ab und zu einbricht. Dies sind Instabilitäten, {\it Bubbling} genannt, deren Auftreten von der Stärke der Kopplung abhängt. Da die Synchronisation hier einseitig ist, ergibt sich unter Umständen eine Zeitverschiebung in der Synchronisation. Um also die Differenz korrekt zu plotten, muss diese Zeitveschiebung berücksichtigt werden. Hierfür wurden die Daten in eine Wertetabelle mit äquidistanten Zeitschritten umgewandelt und anschließend entsprechend um $\tau_C - \tau$ verschoben. Werden für alle Zeiten die Beträge beider Felder gegeneinander aufgetragen, wird die Synchronisation dadurch erkennbar, dass sich der Graph an der Winkelhalbierenden aufhält (rechts unten). \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1.0\textwidth]{../daten/lasers_masterslave/figures/exec_tauUnglTauC_2.png} \caption{Einseitige Kopplung von zwei Lasern} \label{fig:masterslave} \end{figure} \newpage \subsection{Drei Laser: Alive, Bob und Eve} Abbildung \ref{fig:lasers_abe_3} zeigt die Simulation von drei Lasern, bei denen die ersten zwei miteinander bidirektional gekoppelt sind und der dritte unidirektional an den ersten gekoppelt ist. Die Werte für $\sigma$ sind bei allen drei identisch ($\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=4 \cdot 10^{10}$), dasselbe gilt für $\kappa_1=\kappa_2=\kappa_3=3\cdot 10^{10}$ und $\tau_1=\tau_2=\tau_3=1 \cdot 10^{-8}=\tau_C$. Man erkennt, dass alle Laser synchronisieren. Da es für den dritten Laser (``Eve'') jedoch nicht möglich sein soll, mit den beiden anderen zu synchronisieren, ändern wir den Wert $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=2 \cdot 10^{10}$ und sehen, dass nun der dritte Laser nicht mehr synchronisiert (Abbildung \ref{fig:lasers_abe_4}). Durch Variation der Parameter des dritten Lasers könnte es nun möglich sein, ihn mit den anderen zu synchronisieren. Unsere Simulation mit $\sigma_3=5 \cdot 10^{10}$ führte jedoch ebenfalls zu keiner Synchronisation. Da dies jedoch nur Stichproben sind, kann hiermit nicht ausgeschlossen werden, dass es irgend eine Konfiguration gibt, bei der die Synchronisation gelingt. \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../daten/lasers_abe/figures/exec_equaltaus_gleiche_kappas_2.png} \caption{Laser 1 und 2 bidirektional, Laser 3 unidirektional an Laser 1.} \label{fig:lasers_abe_3} \end{figure} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../daten/lasers_abe/figures/exec_equaltaus_gleiche_kappas2_2.png} \caption{Laser 1 und 2 bidirektional, Laser 3 unidirektional an Laser 1. Änderung von $\sigma$ gegenüber Abbildung \ref{fig:lasers_abe_3}, um Synchronisation von Laser 3 zu verhindern} \label{fig:lasers_abe_4} \end{figure} %\begin{figure}[ht] % \centering % \includegraphics[width=1.0\textwidth]{../daten/lasers_abe/figures/exec_equal_taus_differ_sigma.png} % \caption{sigma1 = sigma2 != sigma3, tau=tauC, kappas gleich} % \label{fig:lasers_abe_2} %\end{figure} %\begin{figure}[ht] % \centering % \includegraphics[width=1.0\textwidth]{../daten/lasers_abe/figures/exec_equaltaus_differ_kappa.png} % \caption{Sigmas bei allen gleich, tau=tauC, kappa = kappa2 != kappa3} % \label{fig:lasers_abe_1} %\end{figure} \subsection{Chaos Masking} {\it Der Teil könnte auch in die Zusammenfassung!?} Die beim Chaos Masking durchgeführte Modulation des Laserstrahls, der zum Empfänger-Laser geleitet wird, erzeugt in dessen Differentialgleichung einen zusätzlichen Term. Unser programmiertechnische Ansatz ist deshalb, dies genauso zu implementieren wie eine Kopplung an einen anderen Laser, durch die ebenfalls ein Kopplungsterm hinzuaddiert wird. Leider kamen wir im Rahmen des Praktikums nicht mehr dazu, mit Chaos Masking zufriedenstellende Ergebnisse zu erhalten. \end{document}