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\begin{document}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           Titelseite                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\normalsize
\rule{0mm}{0,4cm}
\thispagestyle{empty}

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.1]{UniGoe.png}
 \label{Georg-August-Universität Göttingen}
\end{figure}

\normalsize

\begin{center}
   \Huge 
   Versuch C2 \\[5mm]
   \LARGE
   {\bf Untersuchungsmethoden der Nanotechnologie: \\
   			Oberflächenanalyse mit Hilfe der Rasterkraftmikroskopie}
\end{center}

\normalsize
\vspace{5mm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Praktikum für Fortgeschrittene} \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill am Dritten Physikalischen Institut \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill der Universität Göttingen\hfill \epsfxsize=2cm}

\vspace{10mm}

\begin{center}
	18. Oktober 2008
\end{center}

\vspace{7mm}
\begin{center}
	\begin{tabular}{rl}
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	  {\it Praktikant	}  	\	\	& {\bf Johannes Dörr} 	 	 							\\
	  												& \href{mailto:mail@johannesdoerr.de}
	  															 {mail@johannesdoerr.de}	 			  \\
	  												& \href{http://physik.johannesdoerr.de}
	  															 {physik.johannesdoerr.de}				\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Durchführung	}	\	\	& am 01.07.2008				 	 								\\
														& zusammen mit 													\\
														& Oliver Schönborn	 										\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Betreuerin		}	\	\	& Karolin Löser													\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	\end{tabular}
\end{center}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           Unterschrift                        %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\thispagestyle{empty}
\begin{center}
	\rule{0cm}{15cm} 
	\begin{tabular}{l}
	  {\it Unterschrift des Praktikanten:} \\
	  \rule{0cm}{1.5cm} \\
  	\rule{8cm}{0.3pt} \\
  	\small{Johannes Dörr - Göttingen, den 18.10.2008}
  	
  \end{tabular}
\end{center}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                       Inhaltsverzeichnis                      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\tableofcontents 

	
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           (Dokument)                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Einleitung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dieser Versuch führt ein in die Arbeit mit dem Rasterkraftmikroskop sowie in
seine Funktionsweise. Untersucht wird unter Anderem eine CD mit dem Ziel, ihre 
Speicherkapazität abzuschätzen. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Theorie}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Funktionsweise eines Rasterkraftmikroskops}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Die Rasterkraftmikroskopie nutzt die Kraft zwischen Messspitze und Probe aus,
um die Oberfläche von letzterer abzubilden. Dies ist zunächst ein sehr allgemeines
Konzept, weshalb mehrere Varianten existieren. Der große Vorteil im Gegensatz
zu Rastertunnelmikroskopen ist, dass die Probe nicht zwangsläufig leitend sein
bzw. leitfähig gemacht werden muss. 

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.4]{Bilder/afm.jpg}
 \caption{Aufbau eines Rasterkraftmikroskops.
 					Quelle: \href{http://nano.tm.agilent.com/blog/2007/06/21/what-is-an-atomic-force-microscope/}
 											 {http://nano.tm.agilent.com/}}
 \label{fig:AFMAufbau}
\end{figure}

Der grundlegende Aufbau (siehe Abbildung \ref{fig:AFMAufbau}) eines Rasterkraftmikroskops 
(Atomic Force Microskope, kurz: AFM) besteht aus einer Abstastspitze, die in x- und 
y-Richtung über die Probe bewegt sowie im Abstand zur Probe (z-Richtung) eingestellt werden kann.
Oft wird statt der Spitze die Probe mit Hilfe von mehreren Piezo-Kristallen
bewegt -- die hierfür verantwortliche Einheit nennt sich {\it Piezoelektrischer Scanner},
auf dem die Probe montiert ist. 

Die Messspitze selbst ist an einer elastischen Blattfeder ({\it Cantilever}) angebracht.
Indem die Spitze zu Anfang der Messung sehr nah an die Probe gefahren wird, gelangt sie
in den Einflussbereich der Oberflächenatome. Die hier wirkenden Kräfte können auf 
unterschiedliche Weise zu Stande kommen: elektrostatische Kräfte der Elektronenwolken, 
Van-der-Waals-Kräfte etc. In der Festkörperphysik nähert man diese Kräfte oftmals
mit dem Lennard-Jones-Potential an (Abbildung \ref{fig:LennardJones}).

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.9]{Bilder/lennardjones.jpg}
 \caption{Verlauf des Lennard-Jones-Potentials mit Arbeitsbereichen von
 				  Non-Contact- und Tapping-Mode. Quelle: Wikimedia Commons}
 \label{fig:LennardJones}
\end{figure}

Je nach Kraft auf die Messspitze erfährt der Cantilever eine Verbiegung, deren Messung
beispielsweise mit Hilfe eines Laserstrahls, dessen verschieden starke Ablekung von mehreren
Fotodioden gemessen wird,
einen Rückschluss auf die Kraft erlaubt. Variiert man beim Abfahren der Probe den Abstand der 
Spitze so, dass die Kraft konstant bleibt, und zeichnet diese Änderungen auf, so erhält man ein
Abbild der Oberfläche.

Es ist offensichtlich, dass der Aufbau sehr störungsempfindlich ist und gegen äußere Schwingungen
abgeschirmt werden muss. Insbesondere werden alle Einheiten dahingehend optimiert, dass sie eine
möglichst hohe Eigenfrequenz besitzten und somit unanfälliger gegen Gebäudeschwingungen etc. werden.

Obwohl die Kräfte, die auf die Probe wirken, im Bereich von $10^{-9}\mathrm{N}$ liegen, sind 
die Drücke auf Grund der kleinen Auflagefläche im hier beschriebenen {\it Contact Mode} sehr hoch 
(im Giga-Pascal-Bereich). Einige Probensorten können deshalb Schaden nehmen. Eine weitere 
Verfälschung der Aufnahmen kann dadurch entstehen, dass die auf der Probe "`schleifende"' Spitze 
Staub anhäuft. Außerdem kann sich die Spitze bei nicht-leitenden Proben elektrisch aufladen, 
wodurch zusätzliche elektromagnetische Kräfte entstehen, die von der Nachführautomatik der Spitze 
natürlich nicht berücksichtigt werden und somit zu falschen Resultaten führen.

Diese Probleme kann man beseitigen durch eine alternative Betriebsart, dem {\it Non-Contact Mode}.
Hierbei wird der Cantilever mit einer Schwingung nahe seiner Resonanzfrequenz angeregt. 
Ändert sich die Entfernung, variiert damit die Wechselwirkungskraft mit der Oberfläche, wodurch
sich die Resonanzfrequenz verschiebt. Hält man bei konstanter Frequenz die maximale Auslenkung durch 
Nachführen der Spitze konstant, erhält man wieder Informationen über die Oberflächentopologie, und das 
quasi berührungsfrei.

Eine Abwandlung stellt der {\it Tapping Mode} dar. Bei ihm wird die Spitze soweit an die Probe
geführt, dass sie kurz vor dem Umkehrpunkt des Cantilevers die Probe berührt. Die Schwinungsfrequenz
und -amplitude ändern sich dabei im Vergleich zu denen der freien Schwingung, sodass eines der beiden
als Kontrollgröße für den Regelkreis verwendet werden kann. Dieser wird im nachfolgenden Abschnitt
beschrieben.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Regelkreis}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die Nachführung der Spitze ist ein nicht-triviales Problem der Regelungstechnik. 
Kontinuierlich wird dabei die {\it Regelgröße}, in diesem Fall die Schwingungsamplitude,
gemessen und mit einem {\it Sollwert} verglichen, also die {\it Regelabweichung}
bestimmt. Daraufhin korrigiert der Regler die Stellgröße, hier die Höhe der
Spitze, sodass am Ende möglichst Istwert=Sollwert gilt.

Bei dem hier verwendeten AFM kommt ein sogenannter Proportional-Integral-Regler zum
Einsatz. Dieser besteht eigentlich aus zwei Reglern, die beide verschiedene Regelgrößen
verwenden, aber gleichermaßen die Spitze steuern. Der Proportionalregler bestimmt die neue 
Stellgröße poportional zur Regelabweichung. Der Integralregler hingegen summiert über 
einen längeren Zeitraum die Regelabweichung und errechnet daraus die neue Stellgröße.

Dieses Verfahren ermöglicht eine schnell reagierende, aber auch genaue Regelung.
Während der Proportionalregler auf plötzliche Änderungen sofort reagiert, ist
der Integralregler vergleichsweise träge, da er immer einen Durchschnitt berechnet.
Der Proportionalregler hat hingegen Probleme, kleine Abweichungen auszugleichen, 
weil die Änderung der Stellgröße bei kleinerer Regelabweichung auch immer geringer 
wird und der Sollwert somit so gut wie nie erreicht würde. Der Integralregler 
bemerkt jedoch diese kleine Abweichung, da sie sich in jedem Schritt aufaddiert,
und kann entsprechend nachregeln.

Wie stark jeder der beiden Regler die Nachführung beeinflusst, wird durch den
Propor\-tional- bzw. Integralteil angegeben. Ihre richtige Konfiguration 
ist maßgeblich für die korrekte Abtastung der Probe. Ist die Nachführung 
zu langsam, werden Strukturen nur unvollständig aufgezeichnet. Sind die Faktoren
zu hoch eingestellt, kann der Regler ins Schwingen kommen, was einerseits zu
fehlerhaften Abbildungen von eigentlich geraden Flächen und andererseits zur
Beschädigung des Geräts führen kann.

Deutliche Oszillationen, die genau hierauf zurückzuführen sind, finden sich im
Auswertungsteil (Abschnitt \ref{sec:Auswertung}), wie zum Beispiel bei den 
Profilausschnitten in Abbildung \ref{fig:CDBeschriebenAusgleichProfil} und 
\ref{fig:StanzmutterProfil}.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Durchführung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
	\item Im ersten Teil wird die Gitterkonstante eines Eichgitters auf optischem Wege
				gemessen. Dabei trifft ein Laserstrahl auf das Gitter und erzeugt auf einem
				Schirm ein Beugungsbild, aus dessen Abmessungen auf den Abstand der Gitterspitzen
				geschlossen werden kann.
	\item Anschließend wird das Eichgitter mit dem Rasterkraftmikroskop untersucht und
				zum Vergleich durch Ausmessen der Aufnahmen die Gitterkonstante bestimmt.
	\item Die eigentlichen Untersuchungsobjekte sind eine CD und eine Stanzmutter, von 
				denen einige Aufnahmen gemacht werden. 
\end{enumerate}


\numberwithin{figure}{subsection}
\numberwithin{table}{subsection}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Auswertung \label{sec:Auswertung}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die eingestellten Parameter des Mikroskops bei den verschiedenen Aufnahmen, die in diesem
Protokoll erscheinen, sind in Tabelle \ref{tab:Parameter} aufgelistet.

\begin{table}
	\begin{center}
	\begin{tabular}{llllll}
		\toprule
		{\bf Abb.}				&	{\bf Integral}	&	{\bf Proportional} &	{\bf Drive Ampl.}
																															& {\bf Scan Size}			&	{\bf Scan Rate} \\
											&	{\bf Gain}	&	{\bf Gain} 	&	[mV] 	
																															& [$\mathrm{\mu m}$] 	&	[Hz] \\
		\midrule
		\ref{fig:Testgitter}				&	0.9930					&	2.462							&	143.8										&	10			&	0.5					\\
		\ref{fig:TestgitterEinzeln}	&	0.9930					&	2.462							&	143.8										&	2.4			&	0.798				\\
		\ref{fig:CDUnbeschrieben}		&	0.55						&	1.320							&	85.18										&	20			&	1						\\
		\ref{fig:CDBeschrieben}			&	0.8858					&	1.933							&	123.4										&	20			&	0.5					\\
		\ref{fig:Stanzmutter}				&	0.7239					&	1.309							&	120.7										&	50			&	0.798				\\
		\ref{fig:StanzmutterGross}	&	0.7239					&	1.309							&	120.7										&	10			&	0.798				\\
		\bottomrule
	\end{tabular}
	\caption{Parameter der im Protokoll graphisch dargestellten Messungen.}
	\label{tab:Parameter}
	\end{center}
\end{table}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Gitterkonstante des Eichgitters}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsubsection{Optische Bestimmung}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	Für die Beugung an einem Gitter gilt die {\it Bragg-Formel}:
	\begin{align*}
		n \cdot \lambda = g \cdot \sin \alpha \ .
	\end{align*}
	Sie gibt an, unter welchem Winkel $\alpha$ das Beugungsmaximum $n$-ter Ordnung
	zu beobachten ist, wenn $g$ die Gitterkonstante und $\lambda$ die Wellenlänge
	des Lasers angibt. Statt der Winkel haben wir im Versuch die Positionen der Maxima
	auf dem Schirm markiert und den Abstand $l=26.5(5)\mathrm{cm}$ zwischen ihm und dem Gitter gemessen,
	sodass wir den Winkel mit dem Tangens bestimmen können:
	\begin{align*}
		g = \frac{n \cdot \lambda}{\sin \! \left( \arctan \frac{s}{l} \right)} \ .
	\end{align*}	
	Dabei ist $s$ der Abstand eines Beugungsreflexes zum 0-ten Maximum (dem Loch im Papier,
	das wir nun als Ursprung definieren). Eine konstruktiv Interferenz kann an unter\-schied\-lich\-en
	Gitterebenen stattfinden. Uns interessiert der Abstand der Ebenenschar (10), denn 
	dieser ist die gesuchte Gitterkonstante.
	
	Reflexe, die auf einer Geraden liegen, gehören zur selben Ebene, unterscheiden sich aber in 
	der Ordnung. Wir verwenden zur Berechnung drei erste Maxima und ein zweites Maximum der 
	(10)-Ebenen sowie zwei erste Maxima der (11)-Ebenen.\footnote{In unserem Protokoll zum Versuch B4
	"`Elektronenbeugung"' ist der Definition der Millerschen Indizes ein eigenes Kapitel (2.3) gewidmet.
	Alle Protokolle können unter der Adresse \href{http://physics.johannesdoerr.de/f-praktikum}
	{http://physik.johannesdoerr.de/f-praktikum} aufgerufen werden.}

	Mit $\lambda=652(17)\mathrm{nm}$ erhalten wir die folgenden Gitterkonstante(n):
	\begin{center}
		\begin{tabular}{llll}
			\toprule
			{\bf Ebene} (hk)	&	{\bf Ordnung}		&	{\bf Position} $s$	&	{\bf Gitterkonstante} $g_{hk}$ \\
			\midrule
			(10)					&	1								&	$5.0 \, \mathrm{cm}$		&	$3.40(35) \, \mathrm{\mu m}$			\\
			(10)					&	1								&	$6.0 \, \mathrm{cm}$		&	$2.86(25) \, \mathrm{\mu m}$			\\
			(10)					&	1								&	$5.6 \, \mathrm{cm}$		&	$3.05(29) \, \mathrm{\mu m}$			\\
			(10)					&	2								&	$20.5 \, \mathrm{cm}$		&	$2.09(7) \, \mathrm{\mu m}$				\\
			(11)					&	1								&	$13.7 \, \mathrm{cm}$		&	$1.38(6) \, \mathrm{\mu m} \ \Rightarrow \ g_{10}=1.95(8) \, \mathrm{\mu m}$	\\
			(11)					&	1								&	$13.0 \, \mathrm{cm}$		&	$1.44(6) \, \mathrm{\mu m} \ \Rightarrow \ g_{10}=2.04(8) \, \mathrm{\mu m}$	\\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{center}
	Aus der Messung an der (11)-Ebene wurde über die Formel $d_{hk} = \sqrt{h^2 + k^2}$, konkret $d_{10} = \sqrt{2} \, d_{11}$,
	der Wert der Gitterkonstante berechnet.
	
	Die Fehlerangaben für die Gitterkonstanten berechnen sich aus:
	\begin{align*}
		\sigma_g &= \sqrt{ \left(\frac{\partial g}{\partial \lambda} \cdot \sigma_\lambda \right)^2 +
											 \left(\frac{\partial g}{\partial s} \cdot \sigma_s \right)^2 + 
											 \left(\frac{\partial g}{\partial l} \cdot \sigma_l \right)^2 } \\
						 &=	\sqrt{ \left(\frac{n}{\sin \! \left( \arctan \frac{s}{l} \right)} \cdot \sigma_\lambda \right)^2 +
						 					 \left(\frac{n \lambda l^2}{s^2 \sqrt{l^2 + s^2}} \cdot \sigma_s \right)^2 +
						 					 \left(\frac{n \lambda l}{s \sqrt{l^2 + s^2}}  \cdot \sigma_l \right)^2 } \ .
	\end{align*}
	Der gewichtete Mittelwert ergibt schließlich:
	\begin{align*}
		g = 2.1(1) \mathrm{\mu m} \ .
	\end{align*}	
	Von der Angabe des Datenblatts ($g_\mathrm{Lit}=2.12\mathrm{\mu m}$) weicht dieser Wert um weniger als 1\% ab.
	
	
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsubsection{Bestimmung per AFM}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\begin{figure}[htbp]
	 \centering
	 \subfigure[2-dim. Darstellung]{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/2d_profillinien.jpg}} 
	 \subfigure[3-dim. Darstellung]{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/3d.jpg}}
	 \caption{Aufnahme des Testgitters.}
	 \label{fig:Testgitter}
 	\end{figure}
	
	\begin{figure}[htbp]
	 \centering
	 \subfigure[2-dim. Darstellung]{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/einzeln_2d.jpg}} 
	 \subfigure[3-dim. Darstellung]{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/einzeln_3d.jpg}}
	 \caption{Aufnahme einer einzelnen Spitze des Testgitters.}
	 \label{fig:TestgitterEinzeln}
 	\end{figure}

	\begin{figure}[htbp]
	 \centering
	 \subfigure[$g_1$]{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/profil_1.png}} 
	 \subfigure[$g_2$]{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/profil_2.png}}
	 \subfigure[$g_x$]{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/profil_x.png}} 
	 \subfigure[$g_y$]{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/profil_y.png}}
	 \caption{Profilausschnitte des Testgitters (die zugehörigen Schnittgeraden sind 
	 					Abbildung \ref{fig:Testgitter} zu entnehmen).}
	 \label{fig:TestgitterProfil}
 	\end{figure}

	%\begin{figure}[htbp]
	% \centering
	% \includegraphics[width=0.48\textwidth]{Bilder/testgitter/profil.png}
	% \caption{Profilausschnitt des Testgitters.}
	% \label{fig:TestgitterProfil}
	%\end{figure}

	Als erstes wurde eine Aufnahme des Testgitters durchgeführt, um die mit ihr gemessene Gitterkonstante 
	mit der aus der optischen Bestimmung zu vergleichen. Die Aufnahme ist in Abbildung \ref{fig:Testgitter}
	dargestellt. Dort ist zu sehen, dass die Spitzen des Gitters nicht als punktsymmetrische
	Objekte zu erkennen sind, was in der Einzelnaufnahme (Abbildung \ref{fig:TestgitterEinzeln}) noch 
	deutlicher wird. Dies liegt an der schlechten Form der Spitze, die wir zugegeben selbst zu verschulden
	haben: Durch eine versehentlich falsche Einstellung von Proportional Gain und Integral Gain haben wir
	die Spitze wohl beschädigt, weshalb sie nach diesen Aufnahmen ausgetauscht wurde. Für diesen
	Abschnitt sind die Aufnahmen dennoch verwendbar.
	
	Wir wollen die Gitterkonstante für zwei Richtungen des Gitters bestimmen. Bei unserer Aufnahme 
	liegen die Gitterkoordinaten (leider) nicht parallel zur x- bzw. y-Richtung des AFM. Wir bezeichnen 
	daher die Gitterkonstanten mit $g_1$ und $g_2$. Aus den Profilbildern in Abbildung \ref{fig:TestgitterProfil}
	(die Schnittgeraden 1 und 2 sind Abbildung \ref{fig:Testgitter}, links zu entnehmen) erhalten wir für die
	Gitterkonstanten jeweils als Mittelwert der gemessenen Abstände:
	\begin{align*}
		g_1 &= 2.72(1) \mathrm{\mu m} \\
		g_2 &= 2.51(1) \mathrm{\mu m} \ \ .
	\end{align*}
	Diese Werte weichen deutlich vom Literaturwert ab und sind insbesondere auch nicht gleich groß.
	Es ist offenbar eine Verzerrung in der Aufnahme vorhanden. 
	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Eichung des AFM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	Um die Abweichung der Längen zu kompensieren, wird das AFM nun geeicht. Dabei bestimmen wir
	die beiden Faktoren $a_\mathrm{x}$ und $a_\mathrm{y}$, mit denen eine Länge in den Aufnahmen 
	multipliziert werden muss, um die wirkliche Länge zu erhalten.
	
	Der Einfachheit halber verwenden wir hierzu die diagonalen Enfernungen des Eichgitters,
	da diese nahezu mit den Achsen x und y des AFM übereinstimmen. Die zugehörigen Profilbilder
	sind in Abbildung \ref{fig:TestgitterProfil} dargestellt. Wir erhalten als Mittelwert
	der jeweiligen benachbarten Abstände:
	\begin{align*}
		g_\mathrm{x} &= 3.74(1) \mathrm{\mu m} \\
		g_\mathrm{y} &= 3.69(1) \mathrm{\mu m} \ \ .
	\end{align*}
	Hierbei haben wir einen Ablesefehler von $0.2\mathrm{\mu m}$ angenommen. Dieser Wert wurde
	unter Beachtung der Verzerrung der Aufnahme gewählt.
	
	Der Literaturwert beträgt $g_{\mathrm{d},\mathrm{Lit}}=3.0\mathrm{\mu m}$. Es ergibt
	sich also:
	\begin{align*}
		a_\mathrm{x} &= \frac{g_{\mathrm{d},\mathrm{Lit}}}{g_\mathrm{x}} = 0.80 \\
		a_\mathrm{y} &= \frac{g_{\mathrm{d},\mathrm{Lit}}}{g_\mathrm{y}} = 0.81 \ \ .
	\end{align*}
	
	
	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Untersuchung der CD und der Stanzmutter}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Bei der eigentlichen Untersuchung wurden mit dem Mikroskop Aufnahmen einer CD, sowohl im 
beschriebenen als auch im unbeschriebenen Bereich, sowie Aufnahmen einer Stanzmutter,
aus der CDs gepresst werden, gemacht (Abbildungen \ref{fig:CDUnbeschrieben} und 
\ref{fig:CDBeschrieben}).

\begin{figure}
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/cd_unbeschrieben.jpg}
	\caption{Unbeschriebener Bereich der CD.}
	\label{fig:CDUnbeschrieben}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/cd_beschrieben.jpg}
	\caption{Beschriebener Bereich der CD.}
	\label{fig:CDBeschrieben}
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/cd_unbeschrieben_ausgleich.jpg}
	\caption{Geebnete Aufnahme des unbeschriebenen Bereichs der CD.}
	\label{fig:CDUnbeschriebenAusgleich}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/cd_beschrieben_ausgleich.jpg}
	\caption{Geebnete Aufnahme des beschriebenen Bereichs der CD.}
	\label{fig:CDBeschriebenAusgleich}
\end{minipage}
\end{figure}

Leider sind die Aufnahmen der CD nicht eben. In den Aufnahmen \ref{fig:CDUnbeschrieben} und 
\ref{fig:CDBeschrieben} sieht man dies an den sehr dunklen Bereichen. Woran das an unserem Fall 
genau liegt, können wir nicht sagen. Um die Aufnahmen besser verwerten zu können, haben wir die 
Funktion {\it Flatten} des Auswertungsprogramms verwendet und so die Aufnahmen geglättet 
(Abbildung \ref{fig:CDUnbeschriebenAusgleich} und \ref{fig:CDBeschriebenAusgleich}).

Die Aufnahme des unbeschriebenen Bereichs zeigt parallele Rillen. In Wirklichkeit handelt
es sich hierbei jedoch um eine einzige Spirale, die sich von innen nach außen fortsetzt.
Im beschriebenen Bereich haben die Rillen keine konstante Höhe mehr sondern weisen
sogenannte {\it Pits} (Vertiefung) und {\it Lands} (keine Vertiefung) auf. Diese stellen jedoch 
nicht direkt die gespeicherten Bits dar. Stattdessen wird die {\it Eight-to-Fourteen-Modulation} 
(EFM) verwendet,\footnote{\href{http://de.wikipedia.org/wiki/Eight-to-Fourteen-Modulation}
{http://de.wikipedia.org/wiki/Eight-to-Fourteen-Modulation}} 
bei der jedes Datenwort mit 8-Bit-Länge durch ein 14-Bit-Wort ausgedrückt wird, 
wobei die Zuordnung in einer Look-up-Tabelle gespeichert ist. Diese Tabelle entspricht natürlich 
einem Standard, damit alle CDs von verschiedenen Geräten korrekt gelesen werden. 

Auf der CD entspricht einer Eins ein Übergang Pit-Land oder Land-Pit. Alle anderen Bereiche
entsprechen Nullen. Um ein sicheres Auslesen zu ermöglichen, sieht EFM vor, dass nach einer
Eins mindestens zwei und höchstens zehn Nullen folgen müssen. Ebenso folgen nach jedem 14-Bit-Wort 
drei Trennbits. Man sieht, das wesentlich mehr Bits gespeichert werden, als die eigentlichen Daten 
benötigen würden. Aus technischer Sicht ist dies jedoch unabdingbar.

Wir wollen nun abschätzen, wie viel Daten auf einer CD gespeichert werden können. Da wir die
genaue EFM-Codierung nicht kennen, können wir beim Betrachten der Bilder nicht sagen, welche
Daten dort gespeichert wurden und wie viel Platz (Bit-Anzahl) sie dort einnehmen. Mit dem Wissen, dass der Begin
eines Lands ein Eins-Bit, der Land selbst zwei oder mehr Null-Bits und sein Ende wieder ein Eins-Bit
repräsentieren, suchen wir einen sehr kurzen Land aus, messen seine Länge und nehmen dann an, dass
diese Länge vier Bits entspricht.

Dazu betrachten wir Abbildung \ref{fig:CDBeschriebenAusgleichProfil}, die das Profil einer beschriebenen
Rille zeigt. Es ist ein starkes Oszillieren zu erkennen; bei der Durchführung gelang es uns leider nicht, 
dieses durch Optimieren der Parameter weiter zu reduzieren. Für den Land in der Mitte lesen wir eine
ungefähre Länge von $1\mathrm{\mu m}$ ab, was mit der Eichung $0.8\mathrm{\mu m}$ ergibt.

\begin{figure}
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/cd_3d.jpg}
	\caption{Unbeschriebener und beschriebener Bereich in 3D-Darstellung.}
	\label{fig:CD3D}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/profil_cd_beschrieben_ausgleich.png}
	\caption{Profilausschnitt des beschriebenen Bereichs der CD.}
	\label{fig:CDBeschriebenAusgleichProfil}
\end{minipage}
\end{figure}

Vereinfachend nehmen wir nun an, dass es sich statt der Spirale um konzentrische Kreise 
handelt, was eine immernoch gute Näherung ist. Die Anzahl der Bits auf der $k$-ten
Bahn ist dann:
\begin{align*}
	n_k = \frac{2 \pi r_k }{0.8 \mathrm{\mu m}} \cdot 4 \, \mathrm{Bits} \ ,
\end{align*}
wobei $r_k$ der Radius der Bahn ist. Damit ergibt sich für die Gesamtzahl der Bits (Summe
über alle Kreise):
\begin{align*}
	N &= \sum_k \frac{8 \pi r_k}{0.8} \cdot 10^6 \\
		&= \sum_k \frac{8 \pi}{0.8} \cdot (r_0 + k \Delta r) \cdot 10^6 \\
		&= 10 \pi \cdot 10^6 \cdot \left(K r_0 + \Delta r \, \frac{K(K+1)}{2}\right) \ .
\end{align*}
$K=20625$ ist die Anzahl der Kreise und ergibt sich aus der Differenz vom inneren Radius $r_0 = 2.5\mathrm{cm}$
und dem äußeren Radius $5.8\mathrm{cm}$, geteilt durch den Abstand 
$\Delta r=1.6\mathrm{\mu m} \cong 1.28\mathrm{\mu m}$ (am Ende erfolgte die Eichung), den wir
aus Abbildung \ref{fig:CDBeschriebenAusgleich} ermitteln. Wir erhalten damit:
\begin{align*}
	N = 3.2 \cdot 10^{10} \, \mathrm{Bits} \ .
\end{align*}
Auf Grund der EFM-Codierung entsprechen 14 Bits + 3 Trennbits auf der CD 8 Datenbits. Diese Datenbits sind in 
{\it Frames} organisiert, die jeweils 24 Bit Daten und 9 Bit für Fehlerkorretur
beinhalten.\footnote{\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Compact\_Disc\#Data\_structure}
{http://en.wikipedia.org/wiki/Compact\_Disc\#Data\_structure}} Damit
erhalten wir als speicherbare Datenmenge
\begin{align*}
	1701 \, \mathrm{MB} \ .
\end{align*}
Die Stanzmutter weist einen etwas größeren Rillenabstand $\Delta r=2\mathrm{\mu m} \cong 1.6\mathrm{\mu m}$ auf (bestimmt
aus Abbildung \ref{fig:StanzmutterGross}, anschließend Eichung). Damit erhielte man eine Speichergröße von
\begin{align*}
	1308 \, \mathrm{MB} \ .
\end{align*}
Diese Werte sind im Vergleich zu 700MB, die allgemein für CDs angegeben werden, relativ groß. Es
muss noch einmal betont werden, wie ungenau diese Abschätzung doch ist: Aus der Eichmessung im vorigen
Abschnitt ist ersichtlich geworden, wie ungenau die Längenmessungen sind. Man hätte eine genauere
Eichmessung, am besten für beide Flächenrichtungen unabhängig, durchführen und damit die Messwerte
korrigieren müssen. Ein wesentlich größerer Unsicherheitsfaktor ist aber unsere Annahme, dass
es sich bei dem betrachteten Land wirklich um 4 Bits handelt und nicht um mehr (weniger können 
es laut EFM jedoch nicht sein). Allein aus diesem
Grund macht eine Fehlerrechnung an dieser Stelle wenig Sinn, weshalb wir sie an dieser Stelle auslassen
und uns mit dieser Diskussion der Aussagekraft begnügen. Da nur eine Abschätzung gefragt war, ist 
das Ergebnis sehr zufriedenstellend. 

\begin{figure}
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/stanzmutter.jpg}
	\caption{Übersichtsaufnahme der Stanzmutter.}
	\label{fig:Stanzmutter}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/stanzmutter_gross.jpg}
	\caption{Kleinerer Ausschnitt der Stanzmutter.}
	\label{fig:StanzmutterGross}
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/stanzmutter_gross_3d.jpg}
	\caption{Ausschnitt der Stanzmutter in 3D-Darstellung.}
	\label{fig:Stanzmutter3D}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[hbt]{7.9cm}
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/untersuchung/profil_stanzmutter.png}
	\caption{Profilausschnitt der Stanzmutter.}
	\label{fig:StanzmutterProfil}
\end{minipage}
\end{figure}

Wie bereits angedeutet besitzt die Stanzmutter einen größeren Rillenabstand als
die CD. Ein weiterer Unterschied ist, dass die Stanzmutter im eigentlichen 
Sinne keine Rillen besitzt sondern nur Lands und Pits. Entsprechend sind die
Höhenunterschiede dort auch wesentlich größer, nämlich etwa 150nm (Abbildung 
\ref{fig:StanzmutterProfil}). Beim Lesen einer CD wird ein Laserstrahl verwendet,
der beim Übergang von Pit auf Land oder umgekehrt mit sich selbst destruktiv interferiert.
Der Höhenunterschied muss also einem Viertel der Wellenlänge entsprechen. Tatsächlich
werden CD-Player mit einer Laserwellenlänge von 780nm betrieben, wir hätten also einen 
Höhenunterschied von 195nm messen müssen.

Der Höhenunterschied bei der CD ist wesentlich geringer, nämlich ungefähr 25nm (Abbildung 
\ref{fig:CDBeschriebenAusgleichProfil}). Auch die Rillen im unbeschriebenen Bereich
zeigen, dass es sich hierbei um keine gepresste CD handelt, sondern um einen teilweise
beschriebenen Rohling. Die Funktionsweise ist hierbei etwas anders -- man nutzt eine
Änderung des Brechungsindex der beim Schreibvorgang mit dem Laser gesetzten Pits aus.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Diskussion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Mit den Ergebnissen dieses Versuchs sind wir sehr zufrieden. Obwohl sicherlich im Vordergrund
steht, sich mit der Bedienung des Rasterkraftmikroskops sowie der Auswertung mit Hilfe des
Analyseprogramms vertraut zu machen, erfüllen auch die Ergebnisse der Berechnungen unsere
Erwartungen. Die Aussagekraft der aus den Aufnahmen ermittelten Werte wie Gitterkonstante 
oder Speicherkapazität wurde an entsprechender Stelle im Protokoll diskutiert. 
	
  
\end{document}