\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{graphicx} \usepackage{subfigure} \usepackage{a4wide} \usepackage{esvect} \usepackage{pstricks} \usepackage{pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{multicol,epsf} \usepackage{ae,aecompl} \usepackage{helvet} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \usepackage{bbm} \usepackage[mathcal]{euscript} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{hyperref} \definecolor{linkcolor}{rgb}{0,0,0} \hypersetup{colorlinks=true, breaklinks=true, linkcolor=linkcolor, menucolor=linkcolor, urlcolor=linkcolor, citecolor=linkcolor, bookmarksopen=true, bookmarksnumbered=false} \numberwithin{equation}{section} \numberwithin{figure}{section} \pagestyle{headings} \begin{document} \newcommand{\diff}[1]{ \, \mathrm{d} #1 \, } \newcommand{\rect}{ \, \mathrm{rect} } \newcommand{\sinc}{ \, \mathrm{sinc} } \newcommand{\me} { m_\mathrm{e} } \newcommand{\kb} { k_\mathrm{b} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Titelseite % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \normalsize \rule{0mm}{0,4cm} \thispagestyle{empty} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.1]{UniGoe.png} \label{Georg-August-Universität Göttingen} \end{figure} \normalsize \begin{center} \Huge Versuch A3 \\[5mm] {\bf Tunneleffekt bei Supraleitern} \end{center} \normalsize \vspace{5mm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Praktikum für Fortgeschrittene} \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill am Dritten Physikalischen Institut \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill der Universität Göttingen\hfill \epsfxsize=2cm} \vspace{10mm} \begin{center} 7. Juli 2008 \end{center} \vspace{7mm} \begin{center} \begin{tabular}{rl} \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Praktikant } \ \ & {\bf Johannes Dörr} \\ & \href{mailto:mail@johannesdoerr.de} {mail@johannesdoerr.de} \\ & \href{http://physik.johannesdoerr.de} {physik.johannesdoerr.de} \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Durchführung } \ \ & am 24.06.2008 \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Betreuerin } \ \ & Christin Kalkert \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Unterschrift % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \thispagestyle{empty} \begin{center} \rule{0cm}{15cm} \begin{tabular}{l} {\it Unterschrift des Praktikanten:} \\ \rule{0cm}{1.5cm} \\ \rule{8cm}{0.3pt} \\ \small{Johannes Dörr - Göttingen, den 07.07.2008} \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inhaltsverzeichnis % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tableofcontents \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % (Dokument) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Einleitung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Supraleitende Metalle besitzen die erstaunliche Eigenschaft, den elektrischen Strom ohne messbaren (ohmschen) Widerstand zu leiten. Im Rahmen dieses Versuchs wird in die Grundlagen der Supraleitung eingeführt und die Energielücke von supraleitendem Blei bei verschiedenen Temperaturen unter Ausnutzung des Tunneleffekts experimentell bestimmt. %%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Theorie} %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Zustands- und Besetzungsdichte, Fermi-Dirac-Verteilung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Als {\it Zustandsdichte} $D(E)=\frac{\diff{N}}{\diff{E}}$ bezeichnet man die Anzahl der Zustände $\diff{N}$ innerhalb eines Energieintervalls $\diff{E}$. Ebenso kann wegen $E(\vec{k})=\frac{\hbar^2 |\vec{k}|^2}{2m}$ alternativ auch $D(k)$ Gegenstand der Betrachtungen sein. Beispielsweise ergibt sich für die Zustandsdichte eines freien Elektronengases in drei Dimensionen: \begin{align*} D(E) \propto \sqrt{E} \ . \end{align*} Andere physikalische Systeme wie zum Beispiel die Elektronen in einem Atom besitzen eine andere Zustandsdichte. Innerhalb eines Festkörpers können die Leitungselektronen wie ein Elektronengas behandelt werden. Bei kleinen Energien gibt es jedoch nur noch diskrete Energiestufen, zwischen denen "`verbotene"' Energiestufen liegen, die von Elektronen nicht besetzt werden können. Entsprechend kleiner ist bei kleinen Energien die Zustandsdichte. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=1]{Grafiken/Zustandsdichte_Gas.jpg} \caption{Zustandsdichte des freien Elektronengases.} \label{fig:ZustandsdichteGas} \end{figure} Elektronen besitzen einen halbzahligen Spin und sind somit Fermionen. Da diese dem Pauli-Prinzip unterliegen, können zwei Elektronen nicht denselben Quantenzustand einnehmen, also beispielsweise nicht in Ort, Energie und Spin übereinstimmen. Quantenmechanisch besitzen Fermionen eine antisymmetrische Wellenfunktion -- bei einer gedachten Vertauschung von zwei Elektronen ändert ihre Wellenfunktion das Vorzeichen. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=1.2]{Grafiken/Fermiverteilung.jpg} \caption{Fermiverteilung.} \label{fig:Fermiverteilung} \end{figure} Wie viele Zustände auch wirklich besetzt sind bzw. wie viele Elektronen eine bestimmte Energie haben, gibt die {\it Fermi-Dirac-Verteilung} $f(E)$ an. Sie ist gegeben durch: \begin{align*} f(E) = \frac{1}{\exp(\frac{E-\mu}{\kb T}) + 1} \end{align*} und hängt somit ab von der Temperatur $T$ und dem chemischen Potential $\mu$. Am absoluten Temperaturnullpunkt $T=0\mathrm{K}$ ist $f(E)$ eine Stufenfunktion. Bei höheren Temperaturen verschmiert die Stufe, wie in Abbildung \ref{fig:Fermiverteilung} zu erkennen ist. Man erhält die {\it Besetzungsdichte}, nämlich die Anzahl $n$ der Elektronen pro Energie $E$ aus: \begin{align*} n(E) = f(E) \, D(E) \ . \end{align*} Durch Summation bzw. Integration über alle Energien ergibt sich die Anzahl aller Elektronen des Systems. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Das Phänomen der Supraleitung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Als Supraleitung bezeichnet man den Zustand, in dem ein Metall keinen nachweisbaren Widerstand besitzt, der elektrische Strom also ohne Behinderung fließen kann. Die große praktische Relevanz dieses Effekts wird jedoch ein wenig dadurch geschwächt, dass die supraleitende Phase erst bei einer sehr tiefen {\it Sprungtemperatur} $T_\mathrm{c}$ einsetzt. Diese hängt in erster Linie vom Material ab und unterscheidet sich auch bei Isotopen desselben Stoffs ({\it Isotopeneffekt}). Sie liegt normalerweise im Bereich von einigen Kelvin; die Ausnahme bilden so genannte {\it Hochtemperatursupraleiter}, deren Sprungtemperatur bei bis zu 140K liegt. Die Sprungtemperatur kann durch ein angelegtes Magnetfeld abgesenkt werden. Überschreitet dieses einen kritischen Wert, so wird das Metall normalleitend. Dasselbe passiert, wenn die elektrische Stromdichte zu hoch ist. Supraleiter sind Diamagneten und schirmen ihr Inneres von äußeren Magnetfelder ab. Dies ist dadurch begründet, dass das Anlegen eines Feldes Kreisströme im Metall induziert, die ein entgegengerichtetes, kompensierendes Magnetfeld erzeugen. Auf Grund des fehlenden ohmschen Widerstands bleiben diese erhalten, sodass ein Supraleiter in einem Magnetfeld zum Schweben gebracht werden kann. Eine Erklärung für die Supraleitung zu finden gestaltete sich als schwierig und gelang erst sieben Jahre nach der Entdeckung des Effekts schließlich 1957 den Physikern \textsc{Bardeen}, \textsc{Cooper} und \textsc{Schrieffer} mit der nach ihnen benannten BCS-Theorie. Im Folgenden wird auf ihre Funktionsweise eingegangen. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Elektron-Elektron-Wechselwirkung via Phononen} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ausgangspunkt der BCS-Theorie ist die Modellvorstellung, dass Elektronen im supraleitenden Metalls das Kristallgitter polarisieren. Durch ihre negative Ladung ziehen sie die positiv geladenen Atomrümpfe an, wodurch eine Anhäufung positiver Ladungsträger entsteht. Diese hat auf ein zweites Elektron eine anziehende Wirkung. Natürlich polarisiert auch dieses zweite Elektron das Gitter und erzeugt somit eine Kraft auf das erste Elektron. Die zwischen ihnen wirkende Anziehungskraft kann unter günstigen Umständen so stark sein, dass sie der Coulomb-Abstoßung überwiegt. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=1]{Grafiken/Gitterpolarisation.jpg} \caption{Durch Gitterpolarisation erzeugte Anziehung zwischen zwei Elektronen.} \label{fig:Gitterpolarisation} \end{figure} Leitungselektronen bewegen sich mit einer hohen Geschwindigkeit (etwa ein Prozent der Lichtgeschwindigkeit) im Metall. Es ist davon auszugehen, dass das Gitter der Bewegung nicht dermaßen schnell folgen kann und das Elektron deshalb eine Spur positiver Ladungsverteilung hinter sich herzieht, die dann andere Elektronen beeinflusst. Mit der Vermutung, dass diese Wechselwirkung mit der Supraleitung in Verbindung steht, wäre eine Erklärung für den Isotopeneffekt gefunden: Die Geschwindigkeit, mit der das Gitter dem Elektron folgen kann, hängt von der Eigenfrequenz und damit von der Masse der Gitteratome ab. Und die Temperaturabhängigkeit ist dadurch gegeben, dass bei geringer thermischer Gitterschwingung die von den Elektronen erzeugte Ladungsspur länger erhalten bleibt. Schematisch kann man diese Wechselwirkung mit einem Austauschteilchen, dem {\it virtuellen Phonon}, beschreiben. Virtuell kennzeichnet hierbei, dass dieses Teilchen nur zwischen den beiden Elektronen ausgetauscht wird, jedoch nicht das Gitter verlassen kann. Wäre dies möglich, bedeutete dies einen ohmschen Widerstand, da durch das Phonon Energie des Elektrons abgeführt werden könnte. Dies ist jedoch hier nicht der Fall. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Cooper-Paarung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ein System strebt grundsätzlich den energieärmsten Zustand an. Wie zwei Kugeln, die auf einer elastischen Membran rollen können, die geringste potentielle Energie besitzten, wenn sie in einer gemeinsamen Mulde liegen, streben auch die Elektronen im Leiter einen günstigen Zustand an. Mit der im vorigen Abschnitt beschriebenen Wechselwirkung ist dieser dann gegeben, wenn ein Elektron sich in der Spur des anderen bewegt. Man ordnet zwei Elektronen mit entgegengesetztem Impuls bzw. Wellenvektor und verschiedenen Spins zu einem {\it Cooper-Paar}, das man schreibt als: \begin{align*} \{ \vec{k} \uparrow, \, -\vec{k} \downarrow \} \ . \end{align*} Die Vorstellung eines solchen Paares von sich in entgegengesetzte Richtungen bewegenden Elektronen als ein Teilchen erfordert etwas Abstraktion, bietet aber den Vorteil, dass der Gesamtimpuls bei jedem Paar Null ist. \textsc{Cooper} konnte zeigen, dass so gepaarte Elektronen energetisch besonders günstig sind. Die Ausdehnung eines solchen Cooper-Paars von $10^2$ bis $10^3$ nm ist verglichen mit dem mittleren Abstand der Leitungselektronen ($10^{-1}$ nm) sehr groß, was eine hohe Überlappung zur Folge hat. Sie sind wegen ihren übereinstimmenden Eigenschaften von Spin und Impuls (jeweils gleich Null) ununterscheidbar und verhalten sich wie Bosonen. Man nimmt im Rahmen der BCS-Theorie an, dass sich ihr Zustand durch eine einzige Wellenfunktion $|\Psi\rangle$ beschreiben lässt: Wenn $|1\rangle_k$ den besetzten Zustand $\{ \vec{k} \uparrow, \, -\vec{k} \downarrow \}$ eines Cooper-Paares beschreibt und $|0\rangle_k$ den unbesetzten, dann ergibt sich sein allgemeiner Zustand aus: \begin{align*} |\psi\rangle = u_k \, |0\rangle_k + v_k \, |1\rangle_k \end{align*} mit den reellen Koeffizienten $u_k$ und $v_k$. Deren Quadrat gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Elektronen eines Cooper-Paars einen Wellenvektor der Länge $|k|$ besitzen ($v_k^2$) bzw. nicht besitzen ($u_k^2$). Der Verlauf von $w_k=v_k^2$ bei $T=0\mathrm{K}$ ist in Abbildung \ref{fig:BesetzungswkeitCooperpaare} dargestellt. Man sieht, dass dieser dem Verlauf der Fermi-Dirac-Verteilung bei $T=T_\mathrm{c}$ ähnelt (gestrichelte Linie). Der Gesamtzustand der supraleitenden Elektronen ergibt sich dann laut BCS-Theorie aus dem Produkt: \begin{align*} |\Psi\rangle = \prod\limits_k \left(u_k \, |0\rangle_k + v_k \, |1\rangle_k \right) \ . \end{align*} Die Cooper-Paare sind also alle im selben Zustand, was die Elektronen (Fermionen) selbst nicht könnten. Da die gepaarten Elektronen einen Gesamtimpuls von Null haben, kann kein Energieverlust durch das Gitter stattfinden, was den Grund für das Verschwinden des ohmschen Widerstands liefert. \begin{figure} \begin{minipage}[hbt]{7cm} \centering \includegraphics[scale=0.5]{Grafiken/BesetzungswkeitCooperpaare.jpg} \caption{Verlauf der Besetzungswahrscheinlichkeit eines Cooper-Paarzustands bei $T=0\mathrm{K}$.} \label{fig:BesetzungswkeitCooperpaare} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[hbt]{7cm} \centering \includegraphics[scale=1.2]{Grafiken/Zustandsdichte_Supraleiter.jpg} \caption{Zustandsdichte eines Supraleiters: {\it Kurve 1:} $T=0$; {\it Kurve 2:} $00\mathrm{K}$ angeregte Zustände oberhalb der Fermi-Energie angibt. Für den Zusammenhang zwischen der Sprungtemperatur $T_\mathrm{c}$ und $\Delta$ ergibt sich aus der BCS-Theorie: \begin{align} 2\Delta_{T=0} = 3.5 \, k_\mathrm{B} \, T_\mathrm{c} \ . \label{eq:SprungtempBCS} \end{align} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Tunneleffekt} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Klassisch kann ein Teilchen mit der Energie $E$ eine Potentialbarriere $E_0$ nur dann überwinden, wenn $E>E_0$ gilt. Ein Beispiel hierfür ist ein Ball, der eine Mindestenergie besitzen muss, um über einen Hügel hinüberrollen zu können. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.6]{Grafiken/Tunneleffekt.jpg} \caption{Wellenfunktion eines eine Potentialbarriere durchtunnelnden Teilchens.} \label{fig:Tunneleffekt} \end{figure} Quantenmechanisch ergibt sich, dass beispielsweise ein Elektron hinter einer (endlichen) Potentialbarriere auch dann noch eine nicht verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzen kann, wenn seine Energie zu gering ist. Dies bezeichnet man als {\it Tunneleffekt}. Laut Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion ergibt ihr Betragsquadrat die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der hier betrachteten Einteilchensystems (siehe Abbildung \ref{fig:Tunneleffekt}). Es ist intuitiv klar, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen vor der Barriere bleibt, größer ist als die, mit der es tunnelt. Entsprechend ist die Amplitude hinter der Barriere kleiner. Die Energie der tunnelnden Teilchen ist jedoch genauso groß wie vor der Barriere, denn dort herrscht ja dasselbe Potential. Die Wellenlänge der Wellenfunktion bleibt also gleich. Ob ein Teilchen mit der Energie $E$ überhaupt tunneln kann, hängt von der Höhe und der Breite der Potentialbarriere ab. Innerhalb der Barriere fällt die Wellenfunktion exponentiell ab. Ist die Barriere zu groß, so ist die Amplitude am Ende Null, und damit auch die Tunnelwahrscheinlichkeit. Abgesehen davon muss hinter der Barriere ein erlaubter, quantenmechanischer Zustand für das Teilchen vorhanden sein. Diese wichtige Bedingung wird im nächsten Abschnitt eine große Rolle spielen. Ordnet man zwei Normalleiter mit einer Isolationsschicht dazwischen nebeneinander an, tunneln von beiden Metallen Elektronen zum jeweils anderen. Die Breite der Potentialbarriere entspricht dabei der Dicke der Isolationsschicht und die Höhe hängt vom Material ab (genauer gesagt von der Energie der freien Niveaus). Die Tunnelströme gleichen sich in der jetzigen Situation aus, denn die Tunnelwahrscheinlichkeit ist von beiden Seiten gleich groß und die Anzahl der Elektronen, die sich auf die Isolationsschicht zubewegen, ist ebenfalls gleich. Da es sich außerdem um dasselbe Material handelt, sind auch auf beiden Seiten gleich viele Zustände vorhanden, in die die Elektronen von der anderen Seite nach dem Tunneln einnehmen können. Legt man nun eine Spannung zwischen beiden Metallen an, so hebt man das Fermi-Niveau, das vorher auf beiden Seiten gleich war, auf der negativen Seite an. Dann können mehr Elektronen auf die andere Seite tunneln als umgekehrt -- die beidseitigen Tunnelströme gleichen sich nicht mehr aus. Dieser Vorgang ist in Abbildung 2.\ref{fig:Tunneleffekt_NLNL} dargestellt. Zur Vereinfachung wurde hier die Temperatur T=0K gewählt, sodass die besetzten Zustände die Fermi-Energie nicht überschreiten (schraffierter Bereich). Außerdem wird angenommen, dass sich die Zustandsdichte in der Nähe der Fermi-Energie konstant verhält, die Elektronen also trotz Erhöhung des Fermie-Niveaus durch Anlegen der Spannung in beiden Richtungen gleich viele Zusände auf der jeweils anderen Seite vorfinden. Durch erhöhen der Spannung erhält man einen proportional höheren Tunnelstrom (siehe Abbildung \ref{fig:UIKennlinie}, Graph 1). Der Tunnelwiderstand entspricht dem Quotienten aus Spannung und Strom (Ohmsches Gesetz). \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Normal-/Normalleiter]{\includegraphics[scale=0.9]{Grafiken/Tunneleffekt_NLNL.jpg} \label{fig:Tunneleffekt_NLNL}} \subfigure[Normal-/Supraleiter]{\includegraphics[scale=0.9]{Grafiken/Tunneleffekt_NLSL.jpg} \label{fig:Tunneleffekt_NLSL}} \caption{Tunneleffekt bei zwei Normalleitern ({\it links}) bzw. Normal- und Supraleiter ({\it rechts}) bei T=0 und verschiedenen angelegten Spannungen (Verschiebungen der Fermi-Niveaus).} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Tunneleffekt bei Supraleitern \label{sec:TunnelSupra}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ersetzt man nun beim Aufbau des vorigen Abschnitts das eine Metall durch einen Supraleiter (Abbildung \ref{fig:Tunneleffekt_NLSL}), so fließt so lange kein Tunnelstrom, bis mit der Spannung der Wert $\Delta / e$ überschritten wurde. Denn die Annahme, dass sich die Zustandsdichte bei einem Normalleiter in der Nähe der Fermi-Energie konstant verhält, gilt nach Abschnitt \ref{sec:Energieluecke} beim Supraleiter gerade nicht mehr. Es sind auf der Seite des Supraleiters bei zu geringer bzw. gar keiner Spannung keine Zustände vorhanden, in die die Elektronen der anderen Seite springen könnten. In die andere Richtung kann natürlich auch kein Strom fließen, da die Zustände im Normalleiter unterhalb der Fermi-Energie alle besetzt sind. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.8]{Grafiken/UIKennlinie.jpg} \caption{Strom-Spannungskurven: {\it Graph 1:} Normal-/Normalleiter, {\it Graph 2:} Normal-/Supraleiter bei $T=0\mathrm{K}$, {\it Graph 3:} Normal-/Supraleiter bei $0