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\hyphenation{Ampli-tuden-modulation}

\numberwithin{equation}{section}
\numberwithin{figure}{section}

\pagestyle{headings} 

\begin{document}


\newcommand{\diff}[1]{ 
\, \mathrm{d} #1 \, 
}

\newcommand{\rect}{ 
\, \mathrm{rect}
}

\newcommand{\sinc}{ 
\, \mathrm{sinc}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           Titelseite                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\normalsize
\rule{0mm}{0,4cm}
\thispagestyle{empty}

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.1]{UniGoe.png}
 \label{Georg-August-Universität Göttingen}
\end{figure}

\normalsize

\begin{center}
   \Huge 
   Versuch 260 \\[5mm]
   {\bf Fourieroptik}
\end{center}

\normalsize
\vspace{5mm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Praktikum für Fortgeschrittene} \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill am Dritten Physikalischen Institut \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill der Universität Göttingen\hfill \epsfxsize=2cm}

\vspace{10mm}

\begin{center}
	07. August 2008
\end{center}

\vspace{7mm}
\begin{center}
	\begin{tabular}{rl}
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	  {\it Praktikant	}  	\	\	& {\bf Johannes Dörr} 	 	 							\\
	  												& \href{mailto:mail@johannesdoerr.de}
	  															 {mail@johannesdoerr.de}	 			  \\
	  												& \href{http://physik.johannesdoerr.de}
	  															 {physik.johannesdoerr.de}				\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Durchführung	}	\	\	& am 20.11.2007				 	 								\\
														& zusammen mit 													\\
														& Oliver Schönborn	 										\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Betreuer			}	\	\	& Dr. Robert Mettin		 	 								\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	\end{tabular}
\end{center}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           Unterschrift                        %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\thispagestyle{empty}
\begin{center}
	\rule{0cm}{15cm} 
	\begin{tabular}{l}
	  {\it Unterschrift des Praktikanten:} \\
	  \rule{0cm}{1.5cm} \\
  	\rule{8cm}{0.3pt} \\
  	\small{Johannes Dörr - Göttingen, den 07.08.2008}
  	
  \end{tabular}
\end{center}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                       Inhaltsverzeichnis                      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\tableofcontents 

	
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           (Dokument)                          %
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\section{Einleitung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die Fouriertransformation spielt sowohl in der Theorie als auch in der Praxis 
eine wichtige Rolle. Durch die Transformation eines Signals kann mit ihr das
Spektrum gewonnen werden, das Aufschluss über die Bestandteile des Signals
liefert. Beispielsweise können in der Audio-Technik, um nur eine Anwendung zu 
nennen, mit einem sogenannten Equalizer bestimmte Frequenzbereiche (z.B.
die Höhen oder Tiefen) verstärkt oder abgeschwächt werden.

Abgesehen von der Transformation solcher Zeitsignale gibt es auch die optische
Fouriertransformation, bei der einfache Linsen zum Einsatz kommen. Der große
didaktische Vorteil hierbei ist, dass keine Elektronik nötig ist und man sich
dennoch in Echtzeit die Eigenschaften der Fouriertransformation vor Augen führen
kann.\\

In diesem Protokoll verzichten wir zweckmäßigerweise auf die klassische Aufteilung
in Theorieteil und Auswertung, da letztere im Großteil qualitativer Art ist und 
die theoretische Abhandlung untermauert.

%\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fraunhofersches und Fresnelsches Beugungsbild}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Bei der Beschreibung von Beugungserscheinungen unterscheidet man zwei Fälle.
Stammen die einfallenden Strahlen von einer weit entfernten Lichtquelle und
können aus diesem Grund als parallel angenommen werden, so spricht man von der
{\it Fraunhofer-Beugung}. 

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.4]{Bilder/FraunhoferFresnelDemtroeder.png}
 \caption{Übergang vom Fresnelschen zum Fraunhoferschen Beugungsbild 
 	({\it Quelle:} \textsc{Wolfgang Demtröder}, Experimentalphysik 2)}
 \label{fig:FraunhoferFresnel}
\end{figure}

Handelt es sich jedoch um divergente oder konvergente Strahlen, so hat man 
es mit der {\it Fresnel-Beugung} zu tun. Am Beispiel eines Spalts der Breite
$b$ liegt diese Nahzone im Bereich $x\ll\frac{b^2}{\lambda}$, wenn $x$ also die
Entfernung ist, in der wir das Feld betrachten wollen, und $\lambda$ die Wellenlänge
des Lichts. Ist die Entfernung hingegen viel größer ($x\gg\frac{b^2}{\lambda}$),
so findet man das Fernfeld vor.

In disem Versuch werden wir nur mit dem dort geltenden, Fraunhoferschen
Beugungsbild zu tun haben, denn dieses liefert in der Brennebene einer Linse
die Fouriertransformation des abgebildeten Objekts, worauf in Kapitel
\ref{sec:FourierMitLinsen} eingegangen wird.

Den Übergang der beiden Beugungsbilder kann man sich experimentell gut 
veranschaulichen, indem man einen Schirm direkt hinter die Linse hält
und diesen dann immer weiter weg bewegt, während man das Beugungsbild
beobachtet (siehe Abbildung \ref{fig:FraunhoferFresnel}). Auf eine quantitative Darstellung 
der beiden Beugungsbilder verzichten wir an dieser Stelle, da sie im weiteren
Verlauf dieses Protokolls nicht benötigt wird. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fouriertransformation}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Bei der Fouriertransformation handelt es sich um eine sogenannte Integraltransformation. 
Sie findet beispielsweise häufig bei der Spektralanalyse von Zeitsignalen Anwendung, die
über das Vorkommen von Frequenzanteilen Auskunft gibt. Mathematisch ist die Fouriertransformierte
$Y(\omega) = \mathcal{F}[y(t)]$ einer Funktion $y(t)$ definiert durch:
\begin{align}
	 Y(\omega) = \mathcal{F}[y(t)] 
	 		  = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} y(t) \cdot e^{- i \omega t} \diff{t} \ .
\label{eq:Fouriertransformation}
\end{align}  
Durch die Rücktransformation:
\begin{align}
	 y(t) = \mathcal{F}^{-1}[Y(\omega)] 
	 		  = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} Y(\omega) \cdot e^{i \omega t} \diff{\omega}
\label{eq:Rücktransformation}
\end{align}
des Spektrums erhält man wieder das Ausgangssignal. Die Fouriertransformation besitzt einige
Eigenschaften, die im Folgenden angesprochen werden.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Linearität}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die Fouriertransformation ist eine lineare Abbildung -- die Transformation der Summe zweier Funktionen
$y_1(t)$ und $y_2(t)$ ist somit die Summe ihrere Fouriertransformierten:
\begin{align*}
	 \mathcal{F}[a_1 \cdot y_1(t) + a_2 \cdot y_2(t)](\omega) = 
	 		a_1 \cdot \mathcal{F}[y_1(t)](\omega) + a_2 \cdot \mathcal{F}[y_2(t)](\omega)  \ .
\end{align*}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Ähnlichkeitssatz}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der Ähnlichkeitssatz sagt aus, dass sich eine Verkleinerung des Objekts in einer 
Vergrößerung des Spektrums auswirkt. Die Amplitude des Spektrums wird
hingegen geringer:
\begin{align*}
	 \mathcal{F}[y(at)](\omega) = \frac{1}{|a|} \, \mathcal{F}[y(t)] \! \left(\frac{\omega}{a}\right) \ .
\end{align*}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Verschiebungssatz \label{sec:Verschiebungssatz}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Bei der Verschiebung der Funktion $y(t)$ um $\tau$ ergibt sich nur ein zusätzlicher Phasenfaktor: 
\begin{align*}
	 \mathcal{F}[y(t + \tau)](\omega) = \mathcal{F}[y(t)](\omega) \cdot e^{i \omega \tau} \ .
\end{align*}
In der optischen
Fourieranalyse geht generell jede Phaseninformation verloren, da das Auge nur Intensitäten wahrnehmen kann. 
Aus diesem Grund bleibt die beobachtete Amplitude des Spektrums bei Verschiebung des Beugungsobjektes
unverändert.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Faltung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die Faltung zweier Funktionen $y_1(t)$ und $y_2(t)$ ist wie folgt definiert:
\begin{align*}
	 (f \ast g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t) \, g(t-\tau) \diff{\tau} \ .
\end{align*}
Mit ihr gilt der {\it Faltungssatz}:
\begin{align*}
	\mathcal{F}[y_1(t) \cdot y_2(t)](\omega) = \mathcal{F}[y_1(t)](\omega) \ast \mathcal{F}[y_2(t)](\omega) \ .
\end{align*}
Die Fouriertransformierte eines Produkts zweier Funktionen ist also dasselbe wie die Faltung
der einzelnen Fouriertransformierten. Dasselbe gilt in umgekehrter Richtung:
\begin{align*}
	\mathcal{F}[y_1(t) \ast y_2(t)](\omega) = \mathcal{F}[y_1(t)](\omega) \cdot \mathcal{F}[y_2(t)](\omega) \ .
\end{align*}
Die Faltung ist zwar nicht unmittelbar anschaulich, besitzt jedoch große praktische Bedeutung. Beispielsweise
kann mit ihr ein Gitter mathematisch beschrieben werden, das aus sich periodisch wiederholenden Löchern
besteht. Dabei faltet man die Funktion des Lochs (zum Beispiel die circ-Funktion) mit einem Dirac-Kamm 
(comb-Funktion), was in Abschnitt \ref{BeugungFaltung} genauer beschrieben wird.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fouriertransformation mit Linsen \label{sec:FourierMitLinsen}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Wird eine optische Vorlage wie z.B. ein Spalt oder Gitter in der Brennebene einer Linse angebracht,
so findet man in der gegenüberliegenden Brennebene die Fouriertransformierte der Vorlage. Anstatt der
in den vorigen Abschnitten behandelten Funktionen, die von der Zeit abhängen, werden hier Funktionen
des Ortes, also zum Beispiel die Spalt- oder Gitterfunktionen, transformiert. Die Frequenz wird 
zur Raumfrequenz. Dennoch lassen wir im Folgenden die Bezeichnungen $t$ und $\omega$ unverändert.

Die zu einem Bildpunkt $x$ gehörende Raumfrequenz $\nu$ erhält man durch die Relation
\begin{align}
	\nu = \frac{x}{\lambda \cdot f} \ ,
\label{eq:Raumfrequenz}
\end{align}
wenn $f$ die Brennweite der Linse und $\lambda$ die Wellenlänge der Lichtes ist. Mit 
$\omega = 2 \pi \nu$ erhält man für die Kreisfrequenz die entsprechende Formel.\\

Bei einem {\bf Spalt} der Breite $a$ erhält man hinter der Linse eine eine sinc-Funtion, denn 
diese ist die Fouriertransformierte der rect-Funktion, die dem Spalt entspricht:
\begin{align}
	s(t) &= \rect \! \left(\frac{t}{a} \right) = \begin{cases}
           														\ 1 &\mathrm{wenn} \ |t| \leq \frac{a}{2} \\
           														\ 0 &\mathrm{sonst}
         														\end{cases} \notag \\
	\mathcal{F}[s(t)](\omega) 
	 		  &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} e^{-i \omega t} \diff{t}
	 		  = \frac{2}{\sqrt{2\pi} \ \omega} \sin \! \left( \frac{\omega a}{2} \right)
	 		  = \frac{a}{\sqrt{2\pi}} \sinc \! \left(\frac{\omega a}{2} \right) \ .
	\label{eq:FourierRect}
\end{align}

Das Auge und auch der verwendete CMOS-Kamerachip können keine Amplituden wahrnehmen, sondern 
nur Intensitäten. In Abbildung \ref{fig:Spalt} ist das Beugungsbild eines Spalts abgebildet,
das also (nur) das Betragsquadrat der Amplitude festhält, also $\propto \sinc^2$.

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/spalt.png}
 \caption{Beugungsbild des Spalts}
 \label{fig:Spalt}
\end{figure}
 	
Ein ähnliches Beugungsbild (Abbildung \ref{fig:Lochblende}) ergibt sich für eine {\bf Lochblende}, nur ist dieses 
(wie die Blende selbst) rotationssysmmetrisch. In der Abbildung ist zudem das Beugungsbild für 
mehrere Lochdurchmesser dargestellt. Offenbar haben schmale Lochblenden breite Spektren und
umgekehrt. Eine Skalierung der Zeitachse $t$ führt also zu einer Stauchung der Frequenzachse $\omega$,
was genau die Aussage des {\it Ähnlichkeitssatzes} ist.

Mathematisch beschreibt man eine Blende mit Radius $r$ durch die Funktion $\mathrm{circ}_r(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})$.
Ihre Fouriertransformierte lautet:
\begin{align}
	\mathcal{F}[\mathrm{circ}_r(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})](\omega_\mathrm{x}, \omega_\mathrm{y}) &=
		\frac{2 \pi r}{\sqrt{\omega_\mathrm{x}^2 + \omega_\mathrm{y}^2}} \, 
		J_1 \! \left(r \sqrt{\omega_\mathrm{x}^2 + \omega_\mathrm{y}^2}\right) \ .
\label{eq:FourierCirc}
\end{align}
Dabei ist $J_1$ die Besselfunktion erster Ordnung.
 	
\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/loch.png}
 \caption{Beugungsbilder verschiedener Lochblenden ({\it v.l.n.r.:} 0.6mm, 0.8mm, 1mm Durchmesser)}
 \label{fig:Lochblende}
\end{figure}

Lassen wir nur den reinen Laserstrahl die Linse passieren, so finden wir in der hinteren
Brennebene keine Veränderung vor. Die Intensitätsverteilung des Querschnitts des Laserstrahls
weist ein {\bf Gaußprofil} auf, und die Fouriertransformation einer Gaußfunktion ist wiederum
eine Gaußfunktion, was die Beobachtung erklärt. 

Bei {\bf periodischen Objekten} wie einem Mehrfachspalt beobachtet man den Ähnlichkeitssatz oft
noch deutlicher, da die Intensitätsmaxima wesentlich schärfer sind als beispielsweise beim
einfachen Spalt. In Abbildung \ref{fig:Mehrfachspalt} sind die Beugungsbilder zweier Mehrfachspalte
abgebildet, die sich in ihrem Spaltabstand unterscheiden. Derjenige mit dem kleineren Abstand
besitzt das breitere Beugungsbild. Mathematisch beschreibt man einen Mehrfachspalt als
Dirac-Kamm:
\begin{align*}
	\mathrm{comb}(t, T) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \delta(t - k T) \ ,
\end{align*}  
der fouriertransformiert wiederum einen Dirac-Kamm mit inverser Periode ergibt:
\begin{align}
	\mathcal{F}[\mathrm{comb}(t, T)](\omega) = 
		\frac{\sqrt{2\pi}}{T} \, \mathrm{comb} \! \left(\frac{\omega}{2\pi}, \frac{1}{T}\right) \ .
\label{eq:FourierComb}
\end{align}

Die beiden Vorlagen aus Abbildung \ref{fig:Mehrfachspalt} unterscheiden sich auch in der 
Lochbreite, was sich jedoch nicht auf den Abstand der Lichtpunkte (Intensitätsmaxima) 
auswirkt. Vielmehr wird das Beugungsbild des Mehrfachspalts durch das des Einzelspalts
überlagert, weshalb die Intensitätsmaxima unterschiedliche Intensitäten besitzten -- 
nämlich beschrieben durch die Verteilung des Einzelspalts. Im oberen Bild ist das Spektrum
zwar breiter auf Grund des kleineren Spaltabstands, die Intensitätsverteilung ist jedoch
schmaler -- die ersten Maxima strahlen wesentlich stärker als der Rest. Im unteren Bild sind
hingegen alle Maxima ungefähr gleich hell. Die Spaltbreite ist dort also kleiner.

Die Auswirkung einer Verschiebung des Beugungsobjekts wurde mit einem Spalt überprüft. Nach
dem {\it Verschiebungssatz} (siehe Abschnitt \ref{sec:Verschiebungssatz}) erwarten wir bei lateraler
Verschiebung nur eine Änderung der Phase. Diese ist jedoch nicht sichtbar, da mit dem Auge bzw. dem
CCD-Chip nur Intensitäten aufgenommen werden können, was das Experiment bestätigt. 

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/mehrfachspalt.png}
 \caption{Beugungsbilder von zwei Mehrfachspalten ({\it oben:} 0.8mm Spaltabstand und 0.8mm Spaltbreite; 
 																									 {\it unten:} 1.6mm Spaltabstand und 0.1mm Spaltbreite)}
 \label{fig:Mehrfachspalt}
\end{figure} 	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Multiplikation zweier Beugungsobjekte \label{BeugungFaltung}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Das Übereinanderlegen von zwei Beugungsobjekten entspricht mathematisch der Multiplikation
der Funktionen, die die Objekte beschreiben. Wollen wir das Beugungsbild des zusammengesetzten
Objekts bestimmen, lässt sich der Faltungssatz anwenden, denn nach ihm wird die Multiplikation 
bei der Fouriertransformation zur einer Faltung. 

In dem Versuch wird ein Gitter, das wir bisher als unendlich ausgedehnt approximiert haben, indem der
Laserpunkt immer kleiner als dieses gehalten wurde, mit einem "`Fenster"' versehen. Es handelt sich
also um eine Multiplikation der Gitterfunktion mit einer Fensterfunktion.

Die Gitterfunktion konstruieren wir zum einen aus einem zweidimension Dirac-Kamm $\mathrm{comb}(t_\mathrm{x}, T_\mathrm{x}) 
\cdot \mathrm{comb}(t_\mathrm{y}, T_\mathrm{y}) \equiv \mathrm{comb}_T(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})$. Dieser 
stellt das Gittermuster da. Falten wir disese Funktion mit $\mathrm{circ}_R(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})$,
so erhalten wir die Gitterfunktion, die Löcher mit dem Radius $R$ im Abstand $T$ in x- und y-Richtung
besitzt.
Nun wird die Gitterfunktion mit der Fensterfunktion $\mathrm{rect}_s(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})$ multipliziert,
die die Seitenlänge $s$ besitzt. Als Variation wird statt des Quadrats eine Kreisblende mit dem Radius $r$, 
beschrieben durch $\mathrm{circ}_r(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})$, verwendet. Damit erhalten wir die Funktion 
$g(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})$ des gesamten Objekts:
\begin{align*}
	g(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y}) = \underbrace{\mathrm{comb}_T(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y}) \ast 
	\mathrm{circ}_R(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})}_{\mathrm{Gitterfunktion}} 
	\cdot \begin{cases}
					\ \mathrm{rect}_s(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y}) \\
					\ \mathrm{circ}_r(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})
				\end{cases} .
\end{align*}
Das Beugungsbild ergibt sich aus der Fouriertransformation. Hierbei wenden wir den Faltungssatz
an, sodass aus der Multiplikation eine Faltung wird und umgekehrt:
\begin{align*}
	\mathcal{F}[g(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})](\omega_\mathrm{x}, \omega_\mathrm{y}) 
	 = \mathcal{F}[\mathrm{comb}_T(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})] \cdot 
	\mathcal{F}[\mathrm{circ}_R(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})] 
	\ast \begin{cases}
					\ \mathcal{F}[\mathrm{rect}_s(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})] \\
					\ \mathcal{F}[\mathrm{circ}_r(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})]
				\end{cases} .
\end{align*}
Die einzelnen Fouriertransformierten \eqref{eq:FourierRect}, \eqref{eq:FourierCirc} und \eqref{eq:FourierComb} setzten wir nun ein:
\begin{align}
	\mathcal{F}[g(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})](\omega_\mathrm{x}, \omega_\mathrm{y}) 
	 = \frac{2\pi}{T^2} \, \mathrm{comb}_\frac{1}{T} \! \left(\frac{\omega_\mathrm{x}}{2\pi}, \frac{\omega_\mathrm{y}}{2\pi}\right) \cdot 
	\frac{2 \pi R}{\sqrt{\omega_\mathrm{x}^2 + \omega_\mathrm{y}^2}} \, 
		J_1 \! \left(R \sqrt{\omega_\mathrm{x}^2 + \omega_\mathrm{y}^2}\right)
	\ast \notag \\ \ast \begin{cases}
					\ \frac{s^2}{2\pi} \sinc \! \left(\frac{\omega_\mathrm{x} s}{2} \right) \sinc \! \left(\frac{\omega_\mathrm{y} s}{2} \right) \\
					\ \frac{2 \pi r}{\sqrt{\omega_\mathrm{x}^2 + \omega_\mathrm{y}^2}} \, 
						J_1 \! \left(r \sqrt{\omega_\mathrm{x}^2 + \omega_\mathrm{y}^2}\right)
				\end{cases} .
\label{eq:FourierGesamt}
\end{align}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Qualitative Betrachtung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Wir betrachten nun die Aufname eines Gitters, über dem eine quadratische Blende liegt,
und bestimmen daraus die Größe der Blende sowie Durchmesser und durchschnittlicher Abstand 
der Löcher des Gitters. Dabei betrachten wir prinzipiell die drei Faktoren aus \eqref{eq:FourierGesamt}
separat, werden jedoch den Teil der Blende und den des Gitters eindimensional betrachten.

Der Kamerachip besitzt eine Auflösung von $512 \times 512$ Pixeln und hat eine Seitenlänge von 
6.4mm. Mit diesen Daten kann das aufgenommene Bild ausgemessen werden.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Blendengröße}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die Blendengröße $s$ steht im direkten Verhältnis zur Größe der Bildpunkte, die entsprechend
quadratische Form haben. Ihr Intensitätsverlauf wird angegeben durch die sinc-Funktion,
denn diese ist laut \eqref{eq:FourierRect} die Fouriertransformierte der rect-Funktion.
Die Größe der Lichtpunkte ergibt sich somit aus der ersten Nullstelle $u$ der 
sinc-Funktion. Es ergibt sich mit \eqref{eq:Raumfrequenz} also:
\begin{align*}
	\mathcal{F} \! \left[\rect \! \left(\frac{t}{s} \right)\right] \! (\omega) \ &\propto \
	\sinc \! \left(\frac{\omega s}{2}\right) = \sinc \! \left(\frac{\pi u s}{\lambda f}\right) =
	\frac{\sin \! \left(\frac{\pi u s}{\lambda f}\right)}{\frac{\pi u s}{\lambda f}} = 0 \\
	&\Rightarrow \ \ \ \pi = \frac{\pi u s}{\lambda f} 
	\ \ \ \Rightarrow \ \ \ s = \frac{\lambda f}{u} \ \ .
\end{align*}

Statt der Nullstelle messen wir bei der Auswertung des aufgenommenen Bildes die Seitenlänge
$2u$ eines Lichtpunktes (siehe Abbildung \ref{fig:Ausmessung}). Hierfür erhalten wir 
$2u=6\mathrm{px}=0.075\mathrm{mm}$. Mit der Wellenlänge des He-Ne-Laserlichts von 
$\lambda=632.8\mathrm{nm}$ und der Brennweite der Fouriertransformationslinse $f=0.5\mathrm{m}$
ergibt sich für die Größe der Blende $s=8.44\mathrm{mm}$. Die in diesem Versuch verwendete
Blende besitzt eine Seitenlänge von 6mm. Erwartungsgemäß findet man zwischen diesem und dem
eben errechneten Wert eine deutliche Abweichung, schließlich haben wir die Größe der Blende
anhand sehr kleiner Bildpunkte errechnet, die mit 6 Pixeln als Seitenlänge sehr schlecht 
aufgelöst sind.

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/Ausmessung.jpg}
 \caption{Ausmessung des Beugungsbildes bei Lochabstand $T=1\mathrm{mm}$, 
 					Lochradius $R=0.15\mathrm{mm}$ und Seitenlänge $s=6\mathrm{mm}$ der
 					quadratischen Blende}
 \label{fig:Ausmessung}
\end{figure} 	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Lochabstand}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Als Nächstes soll nun der durchschnittliche Lochabstand $T$ des Gitters bestimmt werden.
Dieses wird beschrieben durch die comb-Funktion mit der Periode $T$, das Beugungsbild
ergibt sich wieder aus der Fouriertransformation nach \eqref{eq:FourierComb}:
\begin{align*}
	\mathcal{F} [\mathrm{comb} (t, T)] (\omega) \ &\propto \ 
		\frac{1}{T} \, \mathrm{comb} \left(\frac{\omega}{2\pi}, \frac{1}{T}\right) =
		\frac{1}{T} \, \sum\limits_{n=-\infty}^\infty \delta \! \left(\frac{\omega}{2\pi} - \frac{n}{T}\right) =
		\frac{1}{T} \, \sum\limits_{n=-\infty}^\infty \delta \! \left(\frac{v}{\lambda f} - \frac{n}{T}\right) \ .
\end{align*}
Dabei ist $v$ der Ort des Beugungsreflexes der Raumfrequenz $\omega$ und ergibt sich wieder
aus \eqref{eq:Raumfrequenz}. Den Abstand zweier benachbarter Beugungsreflexe erhalten wir, indem
wir zwei benachbarte Peaks der comb-Funktion betrachten. An den Peaks gilt:
\begin{align*}
	\frac{v}{\lambda f} - \frac{n}{T} = 0 \ .
\end{align*}
Das nullte Maximun ($n=0$) finden wir trivialerweise an der Stelle $v=0$, das erste bei 
$v = \frac{\lambda f}{T}$. Daraus erhalten wir, da wir $v$ aus der Auswertung des Beugungsbildes
kennen, den Lochabstand:
\begin{align*}
	T = \frac{\lambda f}{v} \ .
\end{align*}
Wir erhalten mit $v=20\mathrm{px}=0.325\mathrm{mm}$ einen Lochabstand von $T=0.97\mathrm{mm}$.
Dies ist ein recht gutes Ergebnis, der auf dem Gitter angegebene Lochabstand beträgt genau 1mm.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Lochdurchmesser}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Der Lochradius $R$ macht sich im Beugungsbild durch ringförmige Dunkelstellen bemerkbar. Diese
Nullstellen sind diejenigen der Besselfunktion $J_1$ in Gleichung \eqref{eq:FourierGesamt} -- 
sie sind an den Stellen $j_1=3.8$ und $j_2=7.0$ zu finden. Es gilt also:
\begin{align*}
	j_n = R \sqrt{\omega_{\mathrm{x},n}^2 + \omega_{\mathrm{y},n}^2} = \frac{2 \pi R}{\lambda f} \, w_n \ ,
\end{align*}
wobei nun $w_n$ nach \eqref{eq:Raumfrequenz} der gemessene Radius ist. Der zu bestimmende Lochradius
ergibt sich dann aus:
\begin{align*}
	R = \frac{\lambda f j_n}{2 \pi w_n} \ .
\end{align*}
Die Radien in der Aufnahme ermitteln wir zu $w_1=90\mathrm{px}=1.12\mathrm{mm}$ bzw. 
$w_2=180\mathrm{px}=2.25\mathrm{mm}$ und erhalten damit die Werte $0.17\mathrm{mm}$ bzw.
$0.15\mathrm{mm}$ für den Lochradius. Diese Werte weichen von der Angabe $0.3\mathrm{mm}/2$ nur
gering bzw. gar nicht ab. Zwar wird prinzipiell das Ausmessen von größeren Strecken genauer,
allerdings sind die hier gemessenen Radien zumindest auf unserer Aufnahme recht schlecht zu 
erkennen, weshalb dieses gute Ergebnis etwas überrascht.

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\section{Raumfrequenzfilterung}
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Mit Hilfe einer zweiten Linse kann die Fouriertransformierte in der mittleren 
Bildebene wieder rücktransformiert werden, sodass man wieder das ursprüngliche
Bild erkennt. Einen solchen Aufbau nennt man 4f-Anordnung. In der mittleren Ebene 
kann man nun sogenannte Raumfrequenzfilter anbringen. 

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/tiefhochpass.png}
 \caption{Dünner Draht als Vorlage, aufgenommen ohne Filter ({\it links}); mit Tiefpassfilterung ({\it mittig});
 					mit Hochpassfilterung ({\it rechts})}
 \label{fig:TiefHochpass}
\end{figure}

Ein Beispiel hierfür ist ein {\it Tiefpassfilter}, der lediglich eine kleine Lochblende
darstellt. Durch diese werden hohe Frequenzen, die im Spektrum ja weit außen liegen,
herausgefiltert. Ein Tiefpassfilter wird schon bei der ursprünglichen Versuchsapparatur 
in Form des {\it Pinholes} gleich hinter dem Laser verwendet. Dadurch werden Störungen, 
verursacht durch Verunreinigungen wie zum Beispiel dünne Staubteilchen, aus dem Laserstrahl 
entfernt. Insbesondere ist jedes optische Instrument auf Grund einer endlichen Öffnung ein 
Tiefpassfilter.

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/fourierhaus-1.png}
 \caption{"`Fourierhaus"' ohne Filter ({\it links}); mit waagerechter Filtereinstellung ({\it rechts})}
 \label{fig:Fourierhaus1}
\end{figure}

Ein {\it Hochpassfilter} blendet niedrige Frequnzen aus, indem in die Mitte des Spektrums ein
punktförmiges Schreibchen gesetzt wird, das nur weiter außen liegende Teile des Spektrums
durchlässt. Abbildung \ref{fig:TiefHochpass} zeigt die Aufnahmen eines dünnen Drahts
sowohl direkt als auch hinter einem Tief- bzw. Hochpass. Es ist deutlich zu erkennen,
dass der Draht vom Tiefpass aus dem Bild herausgefiltert wird, während er praktisch 
der einzige Teil des Bildes ist, der vom Hochpass durchgelassen wird.

Eine {\it Bandsperre} kann als Ring auf einer Glasscheibe realisiert werden, der 
einen bestimmten Teil des Spektrums absorbiert. Analog dazu wäre ein {\it Bandpass}
als Aussparung in einer Dunkelblende denkbar.

Mit Hilfe eines drehbaren Spalts in der mittleren Brennebene können wir statt nach 
bestimmten Raumfrequenzen nach Orientierungen des Spektrums filtern. Als geeignete
Vorlage erweist sich das sogenannte "`Fourierhaus"', in dem verschiedene Bereiche
aus in verschiedene Richtungen orientierten Streifen besteht 
(Abbildung \ref{fig:Fourierhaus1}). Mit dem Filter können dann gezielt die
einzelnen Bereiche durchgelassen werden (siehe auch Abbildung \ref{fig:Fourierhaus2})


\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/fourierhaus-2.png}
 \caption{"`Fourierhaus"' mit weiteren Filtereinstellungen}
 \label{fig:Fourierhaus2}
\end{figure}


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\section{Umwandlung von Phasen- in Amplitudenmodulation}
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Die bisher betrachteten Vorlagen sind {\it Amplitudenobjekte} -- sie absorbieren Licht und können
somit vom Auge wahrgenommen werden. Es gibt jedoch auch sogenannte {\it Phasenobjekte}, die
nur die Phase des Lichtes verändern, aber ihre Amplitude konstant lassen (und somit transparent
sind). Dennoch kann man sie mit Hilfe von Raumfrequenzfiltern sichtbar machen, was eine
Umwandlung von Phasen- in Amplitudenmodulation bedeutet.

Im Versuch werden wir hiermit einen Fingerabdruck auf einer Glasplatte sowie die erhitze
Luft über einem Widerstand sichtbar machen.


\numberwithin{equation}{subsection}
\numberwithin{figure}{subsection}
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\subsection{Dunkelfeldmethode}
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Die elektronmagnetische Welle, die das Phasenobjekt passiert, schreiben wir als:
\begin{align*}
	E(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y}) \propto \tau(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y}) = 
		a \, e^{i \varphi(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})} \ .
\end{align*}
Dabei ist die Amplitude $a$ konstant und die entstehende Phasenverschiebung 
$\varphi(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})$ abhängig vom Ort im Phasenobjekt. Wir nehmen 
an, dass die entstehende Phasenverschiebung nur sehr gering ist und nähern die
e-Funktion an:
\begin{align*}
	\tau(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y}) \approx a \,
		\left( 1 + i \, \varphi(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})\right) \ .
\end{align*}
Die Welle lassen wir nun eine Linse durchlaufen, wodurch eine Fouriertransformation
stattfindet:
\begin{align*}
	\mathcal{F}[\tau(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})] = 
		a \, \left(\delta(\omega_\mathrm{x}) \, \delta(\omega_\mathrm{y}) + 
		\mathcal{F}[i \, \varphi(t_\mathrm{x}, t_\mathrm{y})] \right) \ .
\end{align*}
In der Brennebene wird eine Blende angebracht, die die nullte Ordnung 
wegfiltert. Damit fällt der erste Summand weg und für die 
Rücktransformation des somit Hochpass-gefilterten Signals $\tau_\mathrm{HP}$ erhält man:
\begin{align*}
	\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[\tau_\mathrm{HP}]] = ia \, \varphi(-t_\mathrm{x}, -t_\mathrm{y}) \ .
\end{align*}
Somit hängt die beobachtete Intensität, die sich aus dem Betragsquadrat ergibt, von
der Phase ab. Dies bestätigt sich im Versuch: Abbildung \ref{fig:Fingerabdruck} zeigt links
die Aufnahme einer Glasplatte, auf der ein Fingerabdruck vorhanden ist. Dieser wird erst
durch die Dunkelfeldmethode sichtbar (mittig). 

Der Name der Methode kommt daher, dass die nullte Ordnung, die am meisten Intensität
besitzt, weggefiltert wird und die entstehenden Bilder entsprechend dunkel sind.
Andere Versuchsaufbauten, bei denen gerade die nullte Ebene vorhanden bleibt (Tiefpassfilter), 
nennt man entsprechend Hellfeldmethoden.

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/fingerabdruck.png}
 \caption{Fingerabdruck ohne Filter ({\it links}); Dunkelfeldmethode ({\it mittig}); 
 					Schlierenverfahren ({\it rechts})}
 \label{fig:Fingerabdruck}
\end{figure}


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\subsection{Schlierenverfahren}
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Eine andere Möglichkeit zum Sichtbarmachen der Phasenverschiebung ist das Schlierenverfahren.
Dabei wird statt eines Hochpassfilters ein Halbebenenfilter eingefügt, der das gesamte
Spektrum zur Hälfte ausblendet. Für die beobachtete Intensitätsverteilung ergibt sich 
damit eine Abhängigkeit von der Ortsableitung in Richtung des Halbebenenfilters der
Phasenverschiebung.

Mit dieser Methode wurde im Versuch sowohl der Fingerabdruck (siehe Abbildung 
\ref{fig:Fingerabdruck}, rechts) sowie die aufgeheizte Luft über einem Widerstand 
(Abbildung \ref{fig:Luft}) sichtbar gemacht.


\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.8]{Bilder/luft.png}
 \caption{Heiße Luft, sichtbar gemacht mit dem Schlierenverfahren}
 \label{fig:Luft}
\end{figure}


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\section{Diskussion}
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Mit den Ergebnissen dieses Versuchs sind wir sehr zufrieden. Die relativ
kurze quantitative Auswertung lieferte mit den Angaben gut übereinstimmende
Ergebnisse. Der übrige qualitative Teil macht mit den Eigenschaften der 
Fouriertransformation sowie der Handhabung der optischen Geräte vertraut.
Die gemachten Aufnahmen sind sowohl bei der 2f- sowie der 4f-Anordnung
gut geworden und ließen eine problemlose Auswertung zu. 



\end{document}