\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{graphicx} \usepackage{subfigure} \usepackage{a4wide} \usepackage{esvect} \usepackage{pstricks} \usepackage{pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{multicol,epsf} \usepackage{ae,aecompl} \usepackage{helvet} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{bm} \usepackage{bbm} \usepackage[mathcal]{euscript} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{hyperref} \definecolor{linkcolor}{rgb}{0,0,0} \hypersetup{colorlinks=true, breaklinks=true, linkcolor=linkcolor, menucolor=linkcolor, urlcolor=linkcolor, bookmarksopen=true, bookmarksnumbered=false} \numberwithin{equation}{section} \numberwithin{figure}{subsection} \pagestyle{headings} \begin{document} \newcommand{\diff}[1]{ \, \mathrm{d} #1 \, } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Titelseite % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \normalsize \rule{0mm}{0,4cm} \thispagestyle{empty} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.1]{UniGoe.png} \label{Georg-August-Universität Göttingen} \end{figure} \normalsize \begin{center} \Huge Versuch 252 \\[5mm] {\bf Digitale Filter} \end{center} \normalsize \vspace{5mm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Praktikum für Fortgeschrittene} \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill am Dritten Physikalischen Institut \hfill \epsfxsize=2cm} \centerline{\epsfysize=2cm \hfill der Universität Göttingen\hfill \epsfxsize=2cm} \vspace{10mm} \begin{center} 16. April 2008 \end{center} \vspace{7mm} \begin{center} \begin{tabular}{rl} \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Praktikant } \ \ & {\bf Johannes Dörr} \\ & \href{mailto:mail@johannesdoerr.de} {mail@johannesdoerr.de} \\ & \href{http://physik.johannesdoerr.de} {physik.johannesdoerr.de} \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Durchführung } \ \ & am 30.10.2007 \\ & zusammen mit \\ & Oliver Schönborn \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ {\it Betreuer } \ \ & Dr. Robert Mettin \\ \rule{5cm}{0mm} & \rule{5,5cm}{0mm} \\ \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Unterschrift % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \thispagestyle{empty} \begin{center} \rule{0cm}{15cm} \begin{tabular}{l} {\it Unterschrift des Praktikanten:} \\ \rule{0cm}{1.5cm} \\ \rule{8cm}{0.3pt} \\ \small{Johannes Dörr - Göttingen, den 16.04.2008} \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inhaltsverzeichnis % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tableofcontents \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % (Dokument) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Einleitung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die Digitalisierung von analogen Signalen hat heutzutage große Bedeutung, so zum Beispiel bei der professionellen Aufnahme von Musik. Neben der Möglichkeit, diese Daten anschließend auf elektronischen Datenträgern zu speichern, bieten digitale Signale den weiteren Vorteil, sie mit Hilfe eines digitalen Filters bearbeiten zu können. Diese unterscheiden sich von analogen Filtern in ihrer Realisierung. Während letztere mit elektronischen Bauteilen wie Widerständen und Kondensatoren aufgebaut werden, werden digitale Filter entweder durch logische Bausteine oder durch Programmanweisungen innerhalb eines Computerprogramms implementiert, was unter Anderem den Vorteil der geringeren Anfälligkeit gegenüber äußeren Störfaktoren oder Abnutzung hat. Digitale Filter finden jedoch auch in Bereichen wie Bild- und Datenverarbeitung vielfältige Anwendung. Dieser Versuch führt in die Grundlagen der Digitalisierung und digitalen Filterung ein. Dabei kommt ein Echtzeit-Signalprozessor zum Einsatz, der die Realisierung von Filtern bis zweiter Ordnung ermöglicht. Es werden die bei der Digitalisierung auftrentenden Effekte sowie die Frequenzgänge verschiedener Filter untersucht. \\ {\it Anmerkung zu diesem Protokoll:} Bei der Auswertung der aufgezeichneten Messwerte dieses Versuchs kam ein Mathematik-Programm zum Einsatz. Da einige Rechnung sehr lang geworden sind, fügen wir am Ende den Ausdruck der Programmanweisungen an, anstatt die Formeln direkt im Protokoll abzudrucken. An entsprechender Stelle wird in der Auswertung (Kapitel \ref{sec:Ausw}) auf die Rechnungen verwiesen. %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Theorie} %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Digitalisierung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.5]{Grafiken/Quantisierung1.pdf} \caption{Leistung des Quantisierungsfehlers in Abhängigkeit von der Wortbreite} \label{fig:Quantisierung1} \end{figure} Bei analogen Signalen handelt es sich um eine Darstellung von Daten in einem kontinuierlichen Wertebereich, zum Beispiel in Form einer Spannung. Digitale Signale hingegen sind ganze Zahlen (in Binärdarstellung) und somit diskret. Die Umwandlung analoger in digitale Signale ist somit zwangsläufig mit Verlusten verbunden, lässt sich aber unter Anderem durch eine hohe Wortbreite $W$ des A/D-Wandlers minimieren (siehe auch Abschnitt \ref{sec:Abtasttheorem}). Die Wortbreite gibt die Anzahl der Bits an, die zur Darstellung der analogen Werte zur Verfügung stehen. Bei einem Maximalwert $A$ des analogen Signals ergibt sich die Quantisierungsstufe $q$ zu: \begin{align} q = \frac{A}{2^W} \ \ , \label{eg:Quantisierungsstufe} \end{align} die dem minimalen Abstand zweier unterschiedlicher Digitalwerte entspricht. Das digitale Signal entspricht also nur bis zu einer gewissen Genauigkeit dem Originalsignal. Der auftretende Fehler: \begin{align*} - \frac{q}{2} \leq e \leq \frac{q}{2} \end{align*} ist offenbar unabhängig vom jeweiligen Wert des Eingangssignals, also rein statistisch verteilt, weshalb man ihn auch Quantisierungsrauschen nennt, und streut um den Mittelwert 0. Es ergibt sich also die Wahrscheinlichkeitsdichte des Quantisierungsfehlers zu: \begin{align} p(e) = \frac{1}{q} \ \ . \label{eq:Wahrscheinlichkeitsverteilung} \end{align} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Signal-Rausch-Abstand} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Um feststellen zu können, wie stark der Fehler ist, der durch die Quantisierung entsteht, definiert man den {\it Signal-Rausch-Abstand} (SNR, engl.: Signal to Noise Ratio). Er gibt das Verhältnis der mittleren Leistung des Signals zu der des Fehlers an. Dieses Verhältnis ist gleich dem der Varianzen $\sigma_s^2$ und $\sigma_e^2$ von Fehler und Signal. Für sie gilt: \begin{align} & \sigma_\mathrm{e}^2 = \int\limits_{-q/2}^{q/2} p(e) (e-\langle e \rangle)^2 \diff{e} = \int\limits_{-q/2}^{q/2} \frac{1}{q} (e-0)^2 \diff{e} = \frac{q^2}{12} \label{eg:VarianzFehler} \\ & \sigma_\mathrm{s}^2 = \frac{1}{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \left(\frac{A}{2} \sin(2 \pi f t) \right)^2 \diff{t} = \frac{A^2}{8} = \frac{1}{8} q^2 2^{2W} \label{eg:VarianzSignal} \ \ . \end{align} Gleichung (\ref{eg:VarianzFehler}) folgt aus (\ref{eq:Wahrscheinlichkeitsverteilung}) und $\langle e \rangle = 0$. In Gleichung (\ref{eg:VarianzSignal}) ist $A/2$ die Amplitude der Sinusschwingung, $T$ deren Periodendauer und $f$ die Frequenz. Mit Gleichung (\ref{eg:Quantisierungsstufe}) ergibt sich der letzte Ausdruck mit Wortbreite und Quantisierungsstufe des A/D-Wandlers. Der A/D-Wandler wird hierbei in seinem gesamten Eingangsbereich $A$ ausgenutzt, die Sinusschwingung ist also voll ausgesteuert. Setzten wir die beiden Größen ins Verhältnis, ergibt sich der Signal-Rausch-Abstand zu: \begin{align} \text{SNR} = \frac{\sigma_\mathrm{s}^2}{\sigma_\mathrm{e}^2} = 2^{2W} \cdot \frac{12}{8} = W \cdot 6 \ \text{dB} + 1.8 \ \text{dB} \ \ . \label{eq:SignalRauschAbstand} \end{align} Die Umrechnung in Decibel (dB) stellt sich dabei wie folgt dar ($\log \equiv \log_{10}$): \begin{align*} \text{SNR} \ [\text{dB}] &= 10 \cdot \log \left( 2^{2W} \cdot \frac{12}{8} \right) \mathrm{dB} \\ &= 10 \cdot 2W \cdot \log (2) \ \mathrm{dB} + 10 \cdot \log \left( \frac{12}{8} \right) \mathrm{dB} \\ &= W \cdot 6 \ \mathrm{dB} + 1.8 \ \mathrm{dB} \ \ . \end{align*} Mit jedem zusätzlichen Bit der Wortbreite erzielt man also einen um $6\mathrm{dB}$ höheren Rauschabstand. Eine immer stärkere Vergrößerung der Wortbreite führt jedoch nicht zu einem beliebig minimalen Fehler (siehe Abb. \ref{fig:Quantisierung2}). Neben der hier betrachteten Diskretisierung der Eingangswerte ist auch die Quantierierung der Zeit von Bedeutung, die Abtastung des Signals erfolgt schließlich in endlich kleinen Zeitschritten $T_\mathrm{s}$. Ist die Änderung innerhalb eines solchen Zeitschritts größer als eine Quantisierungsstufe $q$, kann nur durch die Verkleinerung der Zeitschritte eine genauere Abtastung erzielt werden, jedoch nicht durch eine Vergrößerung der Wortbreite. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.35]{Grafiken/Quantisierung2.pdf} \caption{Schlechte Abtastung trotz hoher Wortbreite (also kleinem $q$), da die Abtastperiode $T_\mathrm{s}$ für dieses Signal zu groß ist} \label{fig:Quantisierung2} \end{figure} Wann dieser Effekt eintritt, können wir leicht abschätzen. An der Stelle, an der sich das Signal, in unserem Fall wieder die Sinus-Funktion, bei einem Zeitschritt $T_\mathrm{s}$ am schnellsten ändert, muss diese Änderung trotzdem noch kleiner sein als eine Quantisierungsstufe. Wir erhalten also: \begin{align*} \left| \frac{\diff}{\diff{t}} \left( \frac{A}{2} \sin(2 \pi f t) \right) \right|_{\mathrm{max}} \cdot T_\mathrm{s} = A \pi f \cdot T_\mathrm{s} \ \leq \ q = A \cdot 2^{-W} \ \ , \end{align*} woraus wir (mit der Abtastfrequenz $f_\mathrm{s}=1/T_\mathrm{s}$) die Relation: \begin{align} \pi f T_\mathrm{s} \leq 2^{-W} \ \Rightarrow \ W_{\mathrm{max}} := W \leq \frac{\ln \left( \frac{f_\mathrm{s}}{\pi f} \right)}{\ln 2} \label{eq:SignalRauschAbstandGrenzWortbreite} \end{align} für die maximale Wortbreite $W_{\mathrm{max}}$ folgern können, ab der eine größere Wortbreite so gut wie keine Verminderung des Quantisierungsrauschen mehr bewirkt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Abtasttheorem \label{sec:Abtasttheorem}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Im Folgenden werden wir das Quantisierungsrauschen, das durch die Diskretisierung der Zeit entsteht, genauer untersuchen. Wichtig hierfür ist das Spektrum, also die Fouriertransformierte der abgetasteten Funktion. Da das Integral über eine Delta-Funktion den Wert $1$ hat, kann die Abtastung durch die Multiplikation der Ausgangsfunktion $y(t)$ mit einem Dirac-Kamm beschrieben werden. Ein Dirac-Kamm besteht aus (unendlich) vielen Delta-Funktionen im Abstand $T_\mathrm{s}$: \begin{align} \mathrm{comb}(t, T_\mathrm{s}) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \delta(t - k T_\mathrm{s}) \ \ . \label{eq:DiracKamm} \end{align} Für die abgetastete Funktion $y_n(t)$ schreiben wir also: \begin{align} y_n(t) = y(t) \cdot \mathrm{comb}(t, T_\mathrm{s}) \ \ , \label{eq:AbgetasteteFunktion} \end{align} wobei $y_n(t) \neq 0$ für $t = n \cdot T_\mathrm{s}$ mit $n \in \mathbb{N}_0$. Würden wir (\ref{eq:AbgetasteteFunktion}) über $t$ integrieren, erhielten wir denselben Wert, als würden wir die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke der Rechteckfunktion $y_n(t)$ vorzeichenrichtig aufaddieren. Das Spektrum einer Funktion $y(t)$ erhalten wir, indem wir eine Fouriertransformation $y(t) \mapsto Y(f)=\mathcal{F}[y(t)]$ durchführen. Diese ist wie folgt definiert: \begin{align} Y(f) = \mathcal{F}[y(t)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} y(t) \cdot e^{- 2 \pi i f t} \diff{t} \ \ . \label{eq:Fouriertransformation} \end{align} Das Spektrum $Y_n(f) := \mathcal{F}[y_n(t)]$ der abgetasteten Funktion können wir mit (\ref{eq:Fouriertransformation}) und unter Zuhilfenahme des Faltungstheorems wie folgt schreiben: \begin{align} Y_n(f) = \mathcal{F}[y(t) \cdot \mathrm{comb}(t, T_\mathrm{s})] = \mathcal{F}[y(t)] \ast \mathcal{F}[\mathrm{comb}(t, T_\mathrm{s})] \ \ , \label{eq:SpektrumYn} \end{align} wobei die Faltung von zwei Funktionen $f$ und $g$ definiert ist als: \begin{align} (f \ast g)(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x-h) \diff{h} \ \ . \label{eq:DefFaltung} \end{align} Das Spektrum eines Dirac-Kamms ist selbst ein Dirac-Kamm mit inverser Periode: \begin{align*} \mathcal{F}[\mathrm{comb}(t, T_\mathrm{s})] = \frac{1}{T_\mathrm{s}} \ \mathrm{comb}\left(f, \frac{1}{T_\mathrm{s}}\right) \stackrel{(\ref{eq:DiracKamm})}{=} \frac{1}{T_\mathrm{s}} \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \delta \left(f - \frac{k}{T_\mathrm{s}}\right) \ \ . \end{align*} Mit der Definition der Faltung (\ref{eq:DefFaltung}) erhalten wir für (\ref{eq:SpektrumYn}) schließlich\footnote{Für Delta-Funktionen gilt: $\int\limits f(t) \cdot \delta(t-k) \diff{t} = f(k)$ \ .}: \begin{align*} Y_n(f) = \frac{1}{T_\mathrm{s}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} Y(f) \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \delta \left(f - \frac{k}{T_\mathrm{s}} - h\right) \diff{h} =\frac{1}{T_\mathrm{s}} \sum\limits_{k=-\infty}^\infty Y \left(f - \frac{k}{T_\mathrm{s}}\right) \ \ , \end{align*} wobei $Y(f) := \mathcal{F}[y(t)]$ das Spektrum des Originalsignals ist. Das Spektrum der abgetasteten Funktion enthält offenbar periodisch (mit $f_\mathrm{s} := 1/T_\mathrm{s}$) das Spektrum des Originalsignals. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.6]{Grafiken/Abtasttheorem1.pdf} \caption{Spektrum einer Zeitfunktion $y(t)$.} \label{fig:Abtasttheorem1} \end{figure} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.6]{Grafiken/Abtasttheorem2.pdf} \caption{Spektrum der abgetasteten Funktion $y_n$. {\it Oben:} $f_\mathrm{s} < 2f_\mathrm{g}$. {\it Unten:} $f_\mathrm{s} > 2f_\mathrm{g}$.} \label{fig:Abtasttheorem2} \end{figure} Wir nehmen nun an, dass das Eingangssignal $y(t)$ aus Frequenzen zwischen $0$ und $f_\mathrm{g}$ besteht, das Spektrum also für $f > f_\mathrm{g}$ immer null ist (siehe Abb. \ref{fig:Abtasttheorem1}), und betrachten nun das Spektrum der abgetasteten Funktion (Abb. \ref{fig:Abtasttheorem2}). Ist die Abtastfrequenz $f_\mathrm{s}$ kleiner als $2f_\mathrm{g}$, so überschneiden sich die Kurvenverläufe, andernfalls wiederholen sich die Kurvenverläufe ohne Überlappungsbereich. Solche Überlappungsbereiche im Spektrum $Y_n(f)$ der abgetasteten Funktion äußern sich in der Funktion $y_n(t)$ als Störtöne. Da Frequenzen im Eingangssignal $y(t)$, die größer sind als die halbe Abtastfrequenz, zu anderen, nämlich tieferen Frequenzen im digitalisierten Signal $y_n(t)$ führen, nennt man dies den {\it Alias-Effekt}. Dieser unerwünschte Effekt kann nur dadurch verhindert werden, die Abtastfrequenz immer größer als das Doppelte der größten im Eingangssignal vorkommenden Frequenz zu wählen, also $f_\mathrm{s} > 2f_\mathrm{g}$ ({\it Abtasttheorem}). Ein nachträgliches Korrigieren des digitalisierten Signals ist in der Regel nämlich nicht mehr möglich. In der Praxis lässt man das Einganssignal deshalb einen (analogen) Tiefpassfilter durchlaufen, der die zu hohen Frequenzen unterdrückt. Hierdurch gehen natürlich Informationen des Eingangssignals verloren, aber der Alias-Effekt wird damit verhindert. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Digitale Filter} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Liegt ein Signal in digitaler Form, also als eine Funktion $y_n(t)$ vor, so kann es mit einem digitalen Filter bearbeitet werden, sodass wir eine Funktion $\mu_n(t)$ erhalten. Im Folgenden bezeichnen wir die digitalen Signale nur noch mit $y_n$ (Eingangsfolge) bzw. $\mu_n$ (Ausgangsfolge) und meinen damit also immer den $n$-ten digitalen Wert. Ein linearer, digitaler Filter wird beschrieben durch eine Gleichung der Form: \begin{align} (y_{n-M}, ..., y_n, \mu_{n-N}, ... \mu_{n-1}) \longmapsto \mu_n = \sum\limits_{k=0}^M \alpha_k y_{n-k} + \sum\limits_{k=1}^N \beta_k \mu_{n-k} \ \ . \label{eq:DigitalerFilter} \end{align} Sie ordnet den $M+1$ vorigen Eingangswerten $y_{n-M}, ..., y_n$ und den $N$ vorigen Ausgangswerten $\mu_{n-N}, ... \mu_{n-1}$ einen neuen Wert $\mu_n$ zu. Die Faktoren $\alpha_k$, $\beta_k$ sowie die Tiefe $N$ der Rekursion und die Anzahl $M+1$ der zu betrachtenden vergangenen Eingangswerte hängen von der jeweiligen Aufgabe des Filters ab. Für die Realisierung so eines Filters benötigt man entweder einen Computer, der die beschriebene Rechnung ausführt, oder eine logische Schaltung bestehend aus Addierer ($y_n, y_m \mapsto y_n + y_m$), Multiplizierer mit einer Konstanten ($\alpha, y_n \mapsto \alpha \cdot y_n$) und Verzögerer ($y_n \mapsto y_{n-1}$). Die Anzahl der benötigten Verzögerungselemente $\mathrm{max}(M,N)$ bestimmt die Ordnung des Filters - sie gibt also einfach gesprochen an, wie weit der Filter in die Vergangenheit sieht. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Einheitsimpulsantwort} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Der Aufbau eines belibigen linearen digitalen Filters ist durch seine {\it Einheitsimpulsantwort} eindeutig bestimmt. Dabei handelt es sich um die Ausgangsfolge $h_n$ des Filters, wenn nur ein Einheitsimpuls $y_n^1$, also $y_{n=0}^1 = 1$ und $y_{n>0}^1 = 0$ oder anders ausgedrückt $y_n^1=\delta(n)$, dem Filter übergeben wird. Daraus lässt sich dann die Ausgangsfolge $\mu_n$ für jede beliebige Eingangsfolge $y_n$ berechnen. Für sie gilt nämlich: \begin{align} \mu_n = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty h_k y_{n-k} = h_n \ast y_n \ \ . \label{eq:FaltungEinheitsImpulsantwort} \end{align} Es ist genau die (diskrete) Faltung von Eingangssignal und Impulsantwort, mit der wir das Ausgangssignal berechnen können. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Übertragungsfunktion \label{sec:Übertragungsfunktion}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die Wirkung eines Filters lässt sich gut an seiner sogenannten {\it Übertragungsfunktion} erkennen. Sie ist definiert als: \begin{align*} H(\omega) = \frac{\mathcal{F}[\mu_n]}{\mathcal{F}[y_n]} = \mathcal{F}[h_n] \ \ , \end{align*} wobei die letzte Gleichheit aus Gleichung (\ref{eq:FaltungEinheitsImpulsantwort}) und dem Faltungstheorem folgt. Da die Berechnung dieses Quotienten aus den Fouriertransformierten von $\mu_n$ und $y_n$ im Allgemeinen aufwändig ist, betrachten wir nun eine harmonische Eingangsfunktion, indem wir diese wie folgt darstellen: \begin{align*} y_n = e^{i\omega \cdot n T_\mathrm{s}} \ \ . \end{align*} Offenbar gilt für den $n-k$-ten Ausgabewert, wobei $n$ der momentane Zeitschritt ist: \begin{align} y_{n-k} = e^{i\omega \cdot (n-k) T_\mathrm{s}} = \underbrace{e^{i\omega \cdot n T_\mathrm{s}}}_{y_n} \cdot e^{-i\omega \cdot kT_\mathrm{s}} = y_n \cdot e^{-i\omega \cdot kT_\mathrm{s}} \ \ . \label{eq:Ausgabewertnmink} \end{align} Da wir einen linearen Filter betrachten, ergibt sich mit (\ref{eq:Ausgabewertnmink}) die Ausgangsfolge ausgehend von Gleichung (\ref{eq:DigitalerFilter}) zu: \begin{align} \mu_n = \sum\limits_{k=0}^M \alpha_k e^{-i\omega \cdot k T_\mathrm{s}} y_n + \sum\limits_{k=1}^N \beta_k e^{-i\omega \cdot k T_\mathrm{s}} \mu_{n} \ \ , \label{eq:QuotientEinAusgabe} \end{align} sie ist also ebenfalls eine harmonische Funktion. Wir stellen (\ref{eq:QuotientEinAusgabe}) um: \begin{align} \frac{\mu_n}{y_n} = \frac{\sum_{k=0}^M \alpha_k e^{-i\omega \cdot k T_\mathrm{s}}}{1 - \sum_{k=1}^N \beta_k e^{-i\omega \cdot k T_\mathrm{s}}} = H(\omega, T_\mathrm{s}) \ \ . \label{eq:ÜbertragungsfunktionHarmonisch} \end{align} Die Fouriertransformation ist hier nun nicht mehr nötig, (\ref{eq:ÜbertragungsfunktionHarmonisch}) ist genau die Übertragungsfunktion bei einer harmonischen Eingangsfunktion. Hier fasst man nun die beiden Größen $\omega$ und $T_\mathrm{s}$ zu einer komplexen Zahl $z:=e^{i\omega \cdot T_\mathrm{s}}$ zusammen und erhält somit: \begin{align} H(z) = \frac{\sum_{k=0}^M \alpha_k z^{-k}}{1 - \sum_{k=1}^N \beta_k z^{-k}} \ \ . \label{eq:ÜbertragungsfunktionZ} \end{align} Die Zuordnung $y(t) \mapsto Y(z)$, wobei $z:=e^{i\omega \cdot T_\mathrm{s}}$, nennt man auch {\it Z-Transformation}. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Frequenzgang \label{sec:Frequenzgang}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die Wirkung eines Filters auf eine harmonische Funktion wird in seinem Frequenzgang sichtbar. Dieser kann entweder experimentell gemessen oder durch Auftragen des Betrags der Übertragungsfunktion $|H(\omega, T_\mathrm{s})|$ dargestellt werden. Die Frequenzgänge weisen dabei eine Periodizität auf - und zwar ist die Kurve an den zur Y-Achse parallelen Geraden durch $f = n \cdot f_\mathrm{s} \pm f_\mathrm{s} / 2$ gespiegelt, wobei $n=0,1,2,...$ und $f_\mathrm{s}$ die Abtastfrequenz des A/D-Wandlers ist. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Pol-Nullstellen-Darstellung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=0.8]{Grafiken/PolNullstellenDarstellung.pdf} \caption{Pol-Nullstellen-Darstellung} \label{fig:PolNullstellenDarstellung} \end{figure} Das Verhalten des Filters für verschiedene Eingangsfrequenzen lässt sich neben dem einfachen Auftragen des Betrags der Übertragungsfunktion, wie in Abschnitt \ref{sec:Frequenzgang} angesprochen, auch durch eine geometrische Darstellung ermitteln. Sowohl Zähler als auch Nenner der Übertragungsfunktion (\ref{eq:ÜbertragungsfunktionZ}) besitzen Nullstellen, wobei die des Nenners als Polstellen des Systems bezeichnet werden. Wir können die Übertragungsfunktion auch in Produktform ausdrücken: \begin{align*} H(z) = A \frac{(z - z_{1,0})(z - z_{2,0}) \ ...}{(z - z_{1,\infty})(z - z_{2,\infty}) \ ...} \ \ , \end{align*} wobei $z_{i,0}$ die $i$-te Nullstelle und $z_{j,\infty}$ die $j$-te Polstelle bezeichnet. Diese kann man nun in die komplexe Ebene einzeichnen (siehe Abbildung \ref{fig:PolNullstellenDarstellung}). Die komplexe Zahl $z$, die wieder definiert sei wie oben, hat immer den Betrag $1$. Indem wir $f$, also die Eingangsfrequenz, erhöhen (und damit natürlich entsprechend die Winkelgeschwindigkeit $\omega=2\pi f$), fahren wir also den Einheitskreis ab. Für jeden Punkt ergibt sich der Betrag der Übertragungsfunktion bei der entsprechenden Frequenz aus dem Produkt der Entfernungen des Punktes zu den Nullstellen, anschließend geteilt durch das Produkt der Abstände zu den Polstellen. Die genannten Abstände sind in Abbildung \ref{fig:PolNullstellenDarstellung} durch fein bzw. grob gestrichtelte Linien dargestellt. Die Phase der Übertragungsfunktion erhält man entsprechend durch Subtraktion der Summe der Winkel zu den Polstellen von der Summe der Winkel zu den Nullstellen, was ebenfalls in der Abbildung verdeutlicht ist. Offensichtlich besitzt die Übertragungsfunktion bei Vielfachen der Abtastfrequenz denselben Wert, denn dann befinden wir uns immer an derselben Stelle auf dem Einheitskreis. Tatsächlich werden wir in der Auswertung sehen, dass sich der Frequenzgang periodisch wiederholt, bzw. diese Tatsache verwenden, um die Abtastfrequenz zu bestimmen. Bei der praktischen Anwendung heißt dies jedoch, dass beispielsweise digitale Tiefpassfilter nur unterhalb der Abtastfrequenz wie erwartet funktionieren, darüber hingegen wieder in den Durchlassbereich übergehen. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Durchführung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Quantisierugsrauschen} Als Erstes soll die Leistung des Quantisierungsfehlers bei $f_\mathrm{s} = 25 \mathrm{kHz}$ gemessen werden. Dies gilt für ein sinusförmiges Eingangssignal von 20Hz für verschiedene Wortbreiten des AD-Wandlers. \subsection{Rekursives Filter 1. Ordnung} Für das rekursive Filter 1. Ordnung wird der Frequenzgang für $\alpha_1 = \alpha_2 = \beta_2 = 0$, $f_\mathrm{s} = 10 \mathrm{kHz}$, $\beta_1 = 0.5$, $0.9$ sowie $0.98$, zwischen 20Hz und 20 kHz gemessen. \subsection{Rekursives Filter 1. Ordnung} Selbiges wird noch einmal für einen Frequenzgang mit den Werten $\alpha_0 = \alpha_2 = 0$, $\alpha_1 = r\sin\gamma$, $\beta_1 = 2r\cos \gamma$, $\beta_2 = -r^2$, $r = 0.9$, $0.95$, $0.99$, $\gamma = 30^\circ$ durchgeführt. Nun wird jedoch nicht nur der Frequenzgang (ebenfalls von 20Hz bis 20kHz) gemessen, sondern auch die Impulsantwort erfasst. \subsection{Nichtrekursives Filter} Für das nichtrekursive Filter werden folgende Ausgangswerte eingestellt: $\beta_1 = \beta_2 = 0$, $\alpha_0 = \alpha_1 = \alpha_2 = 1$ und $f_\mathrm{s} = 10 \mathrm{kHz}$. Hier erfolgt die Messung im Bereich im Bereich von 20Hz bis 5kHz, allerdings wird Selbiges auch für eine weitere, beliebige Nullstelle im oder auf dem Einheitskreis durchgeführt, dessen Parameter $\alpha_1$ entsprechend selbst gewählt werden soll. \subsection{Tiefpaßfilter 2. Ordnung} Im letzten Teil des Versuchs, der Messung des Tiefpassfilters zweiter Ordnung, werden zwei Tiefpaßfilter mit unterschiedlichen Kennlinien untersucht. Diese gehen auf Stephen Butterworth und Pafnuti Lwowitsch Tschebyscheff zurück. Beide werden jeweils für einen Frequenzbereich von 20Hz bis 5kHz durchgeführt, die Einstellungen lauten wie folgt: \subsubsection{Butterworth} $f_\mathrm{g} = 1 \mathrm{kHz}$, $[\alpha_1 = \alpha_0 = \alpha_2 =1] \cdot \frac{1}{16}$, $\beta_1 = 1.143$, $\beta_2 = -0.428$, $f_\mathrm{s} = 10 \mathrm{kHz}$. \subsubsection{Tschebyscheff} $ f_\mathrm{g} = 1 \mathrm{kHz}$; 3dB Welligkeit, $[\alpha_1 = 2$, $\alpha_0 =\alpha_2 = 1] \cdot \frac{1}{16}$, $\beta_1 = 1.532$, $\beta_2 = -0,7094$, $f_\mathrm{s} = 10 \mathrm{kHz}$. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Auswertung \label{sec:Ausw}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Quantisierungsrauschen} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw1.pdf} \caption{Leistung des Quantisierungsfehlers in Abhängigkeit von der Wortbreite.} \label{fig:Ausw1} \end{figure} In Abbildung \ref{fig:Ausw1} ist die Leistung des Quantisierungsfehlers in Abhängigkeit von der Wortbreite des A/D-Wandlers dargestellt. Laut Gleichung (\ref{eq:SignalRauschAbstand}) nimmt der Rauschabstand pro zusätzlichem Bit der Wortbreite um $6\mathrm{dB}$ zu. Diese Zunahme ist hier experimentell bestätigt, denn die Leistung des Quantisierungsfehlers nimmt mit $-6.1(1) \mathrm{dB}$ ab (bei gleichbleibender Leistung des Eingangssignals). Die Dynamik des Originalsignals, also das Verhältnis zwischen maximalem und minimalem Wert, bleibt bei der Digitalisierung erhalten, wenn der Signal-Rauschabstand (SNR) mindestens so groß wie diese ist. Zur Abschätzung des Dynamikbereichs müssten wir prinzipiell die Leistung des Eingangssignals kennen, um den SNR zu ermitteln, denn dieser ergibt sich aus dem Quotienten von Signal- und Fehlerleisung. Da in Abbildung \ref{fig:Ausw1} die Leistung in dB, also logarithmisch aufgetragen wurde, wird aus diesem Quotienten jedoch eine Subtraktion: Die Differenz von dem (konstanten) Leistungswert des Eingangssignals und dem des Quantisierungsfehlers ergibt genau den SNR in dB. Nun ist bei einer Wortbreite von $W=0$ die Leistung des Quantisierungsfehlers genauso hoch wie die des Signals. Somit können wir den maximalen Dynamikbereich grafisch als Abstand zwischen der Kurve und der Geraden durch den Schnittpunkt von Kurve und Y-Achse abschätzen. Auf Grund der ebenfalls vorhandenen Zeitquantisierung, die in (\ref{eq:SignalRauschAbstand}) noch keine Berücksichtigung findet, nimmt der Quantisierungsfehler ab $W=8$ immer weniger ab. Bei dieser Versuchsreihe beträgt die Frequenz des Eingangssignals $f=20\mathrm{Hz}$ und die Abtastfrequenz $f_\mathrm{s}=25\mathrm{kHz}$. Auf Grund dieser Werte erwarten wir mit Gleichung (\ref{eq:SignalRauschAbstandGrenzWortbreite}) diese Abflachung ab $W_\mathrm{max}=8.6 \approx 9$ und liegen damit also recht gut am Ergebnis des Experiments. \numberwithin{figure}{subsubsection} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Rekursiver Filter 1. Ordnung (I.)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die im Folgenden betrachteten Filter haben die Parameter $\alpha_1 = \alpha_2 = \beta_2 = 0$, $\alpha_0 = 1$ und unterscheiden sich in $\beta_1$. Die Abtastfrequenz beträgt $f_\mathrm{s} = 10\mathrm{kHz}$. Die Übertragungsfunktion des Filters ergibt sich damit zu: \begin{align*} H(\omega) = \frac{1}{1-\beta_1 \cdot e^{-i\omega \cdot T_\mathrm{s}}} \ \Rightarrow \ H(f) = \frac{1}{1-\beta_1 \cdot e^{-2\pi i f / f_\mathrm{s}}} \ \ . \end{align*} Die Übertragungsfunktion gibt den Faktor an, um den der Filter die Amplitude des Eingangssignals verändert. Da die Leistung $P$ proportional zum Quadrat der Amplitude ist, betrachten wir weiter unten bei den Darstellungen des theoretisch berechneten Frequenzgangs (Abb.: \ref{fig:Ausw2_1}(b), \ref{fig:Ausw2_2}(b) und \ref{fig:Ausw2_3}(c) sowie ebenso in den darauf folgenden Abschnitten) den Logarithmus von $|H(f)|^2$: \begin{align} P(f) &\propto |H(f)|^2 \notag \\ \Rightarrow \ P(f) \ [\mathrm{dB}] &= 10 \cdot \log(|H(f)|^2) \ \mathrm{dB} + C \notag \\ &= 20 \cdot \log(|H(f)|) \ \mathrm{dB} + C \ \ , \label{eq:AuftragungÜbertragungsfunktion} \end{align} wobei $|H|^2 = H \cdot H^*$ mit dem konjugiert-komplexen $H^*$ von $H$ gilt und an geeigneter Stelle verwendet wird. Mit (\ref{eq:AuftragungÜbertragungsfunktion}) erhalten wir eine Größe, die mit den während des Versuchs in dB gemessenen Leistungswert vergleichbar ist. Da es sich bei $\mathrm{Leistung} \propto (\mathrm{Amplitude})^2$ nur um eine Proportionalität handelt, besitzten die Kurven von Theorie und Messung eine unterschiedliche Verschiebung $C$ längs der Y-Achse, was für die Betrachtungen jedoch nicht von Belang ist. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection[Erster Filter]{Erster Filter - Parameter: $\beta_1 = 0.5$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung, Bestimmung der Grenzfrequenz]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw2_1.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw2_1theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Filters mit $\beta_1 = 0.5$} \label{fig:Ausw2_1} \end{figure} Abbildung \ref{fig:Ausw2_1} zeigt den Frequenzgang des ersten Filters. Die Grenzfrequenz, ab der das Signal um mindestens $3\mathrm{dB}$ abgefallen ist, ermitteln wir auf: \begin{align*} f_\mathrm{g}^\mathrm{gem} = 1180 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Der Frequenzgang wiederholt sich alle $f_\mathrm{s} = 10\mathrm{kHz}$, was erwartungsgemäß der eingestellten Abtastfrequenz entspricht. Bei der theoretischen Berechnung der Grenzfrequenz suchen wir $f_\mathrm{g}^\mathrm{theo}$, bei der gilt: \begin{align} 3 \mathrm{dB} = P(0) - P(f_\mathrm{g}^\mathrm{theo}) \ \ , \label{eq:Grenzfrequenz1} \end{align} wobei $P(f)$ sich aus Gleichung (\ref{eq:AuftragungÜbertragungsfunktion}) ergibt. Die $3\mathrm{dB}$ entsprechen hierbei einer Halbierung der Leistung bei Steigerung der Frequenz von $f=0$ bis $f=f_\mathrm{g}^\mathrm{theo}$. Von der sich ergebenden komplexen Lösung betrachten wir nur den Realteil. Wir berechnen also zunächst durch Umstellen die Umkehrfunktion von $P(f)$, nämlich $f(P)$, und erhalten damit aus Gleichung (\ref{eq:Grenzfrequenz1}): \begin{align*} f(P(0) - 3) = f_\mathrm{g}^\mathrm{theo} \ \ . \end{align*} Die nötigen Rechnungen lösen wir mit einem Mathematik-Programm und verzichten auf Grund der Größe der sich ergebenen Terme auf ihre detaillierte Aufführung innerhalb dieses Protokolls. Stattdessen fügen wir sie am Ende an. Damit erhalten wir einen Wert von: \begin{align*} f_\mathrm{g}^\mathrm{theo} = 1147 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Die Abweichung des gemessenen Wert von dem theoretischen Wert beträgt $3\%$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection[Zweiter Filter]{Zweiter Filter - Parameter: $\beta_1 = 0.9$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung, Bestimmung der Grenzfrequenz]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw2_2.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw2_2theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Filters mit $\beta_1 = 0.9$} \label{fig:Ausw2_2} \end{figure} Abbildung \ref{fig:Ausw2_2} zeigt den Frequenzgang des zweiten Filters. Die Grenzfrequenz ermitteln wir auf: \begin{align*} f_\mathrm{g}^\mathrm{gem} = 180 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Als theoretischen Wert berechnen wir wie beim vorigen Filter: \begin{align*} f_\mathrm{g}^\mathrm{theo} = 167 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Die Abweichung des gemessenen Wert von dem theoretischen Wert beträgt $8\%$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection[Dritter Filter]{Dritter Filter - Parameter: $\beta_1 = 0.98$ \label{sec:Ausw2_3}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw2_3_1.pdf}}\qquad \subfigure[Messung (vergrößert), Bestimmung der Grenzfrequenz]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw2_3_2.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw2_3theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Filters mit $\beta_1 = 0.98$} \label{fig:Ausw2_3} \end{figure} Abbildung \ref{fig:Ausw2_3} zeigt den Frequenzgang des dritten Filters. Die Grenzfrequenz wurde hier bei der ersten periodischen Widerholung, also ab $10\mathrm{kHz}$ gemessen, da dort mehr Messwerte vorhanden sind. \begin{align*} f_\mathrm{g}^\mathrm{gem} = 50 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Der theoretische Wert ergibt sich zu: \begin{align*} f_\mathrm{g}^\mathrm{theo} = 32 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Die Abweichung des gemessenen Wert von dem theoretischen Wert beträgt $56\%$. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Rekursiver Filter 1. Ordnung (II.) \label{sec:Ausw3}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Für die im dritten Versuchsteil untersuchten Filter gilt für die Koeffizienten $\alpha_0=\alpha_2=0$, $\alpha_1=r \sin \gamma$, $\beta_1=2r \cos \gamma$, $\beta_2=-r^2$, wobei $\gamma=30$° und $r$ im Folgenden variiert. Die Übertragungsfunktion ist: \begin{align*} H(f) = \frac{\alpha_1 \cdot e^{-2\pi i f/f_\mathrm{s}}}{1 - \beta_1 \cdot e^{-2 \pi i f/f_\mathrm{s}} - \beta_2 \cdot e^{-4 \pi i f/f_\mathrm{s}}} \ \ . \end{align*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection[Erster Filter]{Erster Filter - Parameter: $r = 0.9$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw3_1.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw3_1theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Filters mit $r = 0.9$} \label{fig:Ausw3_1} \end{figure} Aus dem gemessenen Frequenzgang (Abbildung \ref{fig:Ausw3_1}) bestimmen wir die Resonanzfrequenz $f_\mathrm{r}^\mathrm{gem}$ auf: \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{gem} = 920 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Bei der theoretischen Berechnung suchen wir das Maximum des Frequenzgangs (Rechnung siehe Anhang) und erhalten: \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{theo} = 818 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Damit ergibt sich eine Abweichung von $12\%$. Aus dem Frequenzgang lesen wir auch die Halbwertsbreite $\Delta_f^\mathrm{gem}$ ab, also die Breite der Kurve bei Maximalwert verkleinert um $3\mathrm{dB}$: \begin{align*} \Delta_f^\mathrm{gem} = 500 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Die Halbwertsbreite ermitteln wir aus dem theoretischen Frequenzgang: \begin{align*} \Delta_f^\mathrm{theo} = 349 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Dies ergibt eine Abweichung von $43\%$. Die Impulsantwort wurde nicht komplett aufgezeichnet, was technisch nicht möglich ist, sondern nur die Größe zweier aufeinander folgen Amplituden sowie die Periodendauer. Aus ersterem erhalten wir das logarithmische Dekrement: \begin{align*} \Lambda^\mathrm{Imp} = \ln \frac{y_n^{\mathrm{max}}}{y_{n+1}^{\mathrm{max}}} = 1.25 \ \ . \end{align*} Der Filter stellt ein schwingungsfähiges System dar, der in dem Versich durch den Einheitsimpuls angeregt wird. Danach schwingt er mir seiner Eigenfrequenz, die der Resonanzfrequenz $f_\mathrm{r}^\mathrm{Imp}$ entspricht. Nach der Messung der Periodendauer $T^\mathrm{Imp}$ der Impulsantwort erhalten wir also die Resonanzfrequenz: \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{Imp} = \frac{1}{T^\mathrm{Imp}} = 833 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Die Abweichung dieses Wertes von vom theoretisch ermittelten Wert $f_\mathrm{r}^\mathrm{theo}$ beträgt $2\%$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection[Zweiter Filter]{Zweiter Filter - Parameter: $r = 0.95$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw3_2.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw3_2theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Filters mit $r = 0.95$} \label{fig:Ausw3_2} \end{figure} Die gemessene Resonanzfrequenz $f_\mathrm{r}^\mathrm{gem}$ beträgt (siehe Abbildung \ref{fig:Ausw3_2}): \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{gem} = 870 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Als theoretischen Wert erhalten wir: \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{theo} = 830 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Damit ergibt sich eine Abweichung von $5\%$. Für die Halbwertsbreite ermitteln wir: \begin{align*} \Delta_f^\mathrm{gem} = 550 \mathrm{Hz} \ \ , \end{align*} und als theoretischen Wert: \begin{align*} \Delta_f^\mathrm{theo} = 164 \mathrm{Hz} \ \ , \end{align*} was eine Abweichung von $70\%$ ergibt. Aus der Messung der Impulsantwort erhalten wir: \begin{align*} \Lambda^\mathrm{Imp} = 0.125 \end{align*} und \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{Imp} = \frac{1}{T} = 909 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Die Abweichung dieses Wertes von vom theoretisch ermittelten Wert $f_\mathrm{r}^\mathrm{theo}$ beträgt $10\%$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection[Dritter Filter]{Dritter Filter - Parameter: $r = 0.99$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw3_3.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw3_3theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Filters mit $r = 0.99$} \label{fig:Ausw3_3} \end{figure} Die Resonanzfrequenz $f_\mathrm{r}$ beträgt (siehe Abbildung \ref{fig:Ausw3_3}): \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{gem} = 520 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Als theoretischen Wert erhalten wir: \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{theo} = 833 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Damit ergibt sich eine Abweichung von $38\%$. Die Halbwertsbreite beträgt: \begin{align*} \Delta_f^\mathrm{gem} = 800 \mathrm{Hz} \ \ , \end{align*} bei einem theoretischen Wert von \begin{align*} \Delta_f^\mathrm{theo} = 32 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Hier ist der Messwert um mehr als das 20-fache größer als der theoretische Wert. Die Messung der Impulsantwort führt zu: \begin{align*} \Lambda^\mathrm{Imp} = 0.095 \end{align*} und \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{Imp} = \frac{1}{T^\mathrm{Imp}} = 800 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Die Abweichung dieses Wertes von vom theoretisch ermittelten Wert $f_\mathrm{r}^\mathrm{theo}$ beträgt $4\%$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Vergleich der Messmethoden} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Es fällt auf, dass die Werte für die Resonanzfrequenz, die über die Impulsantwort errechnet wurden, wesentlich näher an den theoretischen Berechnungen liegen als die Ergebnisse der Auswertung der Frequenzgänge. Dies ist auch nicht verwunderlich, da die Impulsantwort wesentlich einfacher und genauer messbar ist als der gesamte Frequenzgang. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Nichtrekursiver Filter \label{sec:Ausw4}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Wir betrachten nun zwei nichtrekursive Filter, also mit $\beta_1=\beta_2=0$. Die Übertragungsfunktion ist: \begin{align} H(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot e^{-2\pi i f/f_\mathrm{s}} + \alpha_2 \cdot e^{-4\pi i f/f_\mathrm{s}} \ \ . \label{eq:Ausw4Übertragungsgunkion} \end{align} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection[Erster Filter]{Erster Filter - Parameter: $\alpha_0 = \alpha_1 = \alpha_2 = 1$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw4_1.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw4_1theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Filters mit $\alpha_0 = \alpha_1 = \alpha_2 = 1$} \label{fig:Ausw4_1} \end{figure} Der erste Filter besitzt die Parameter $\alpha_0 = \alpha_1 = \alpha_2 = 1$. Sein Frequenzgang ist in Abbildung \ref{fig:Ausw4_1} dargestellt. Aus ihm lesen wir die Sperrfrequenz (Resonanzfrequenz) ab: \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{gem} = 3330 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Den theoretischen Wert für die Sperrfrequenz erhalten wir, indem wir die Nullstelle der Übertragungsfunktion suchen (Rechnung siehe Anhang), denn dort kann die Frequenz den Filter nicht passieren. Wir erhalten: \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{theo} = 3333 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Die Abweichung des Messwerts beträgt somit $0.1\%$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection[Zweiter Filter]{Zweiter Filter - Parameter: $\alpha_0 = \alpha_2 = 1$ und $\alpha_1 = 0$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw4_2.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw4_2theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Filters mit $\alpha_0 = \alpha_2 = 1$ und $\alpha_1 = 0$} \label{fig:Ausw4_2} \end{figure} Die Parameter dieses Filters sollten selbst gewählt werden, sodass in der Pol-Nullstellen-Darstellung auf oder innterhalb des Einheitskreises eine Nullstelle sitzt. Wir setzten die Parameter $\alpha_0=\alpha_2=1$ und $\alpha_1=0$. Dann wird der zweite Term in (\ref{eq:Ausw4Übertragungsgunkion}) zu $0$ und der letzte muss für ein bestimmtes $f$ genau $-1$ sein, damit $H(f)=0$. Es ergibt sich also (es gilt wie oben $f_\mathrm{s}=10000$): \begin{align*} -1 &= \alpha_2 \cdot e^{-4 \pi i f / f_\mathrm{s}} \\ \Rightarrow \ f^\mathrm{theo}&=2500 \ \ . \end{align*} Damit konstruieren wir also einen Filter, der bei dieser Frequenz sperrt. Und tatsächlich entspricht auch das experimentelle Ergebnis genau diesem Wert: \begin{align*} f_\mathrm{r}^\mathrm{gem} = 2500 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Tiefpassfilter 2. Ordnung \label{sec:Ausw5}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Zuletzt betrachten wir sowohl einen {\it Butterworth}- als auch einen {\it Tschebyscheff}-Filter. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Butterworth-Filter} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung, Bestimmung der Grenzfrequenz]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw5_1.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw5_1theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Butterworth-Filters} \label{fig:Ausw5_1} \end{figure} Die Parameter des Butterworth-Filters sind $\alpha_1 = 1/8$, $\alpha_0 = \alpha_2 = 1/16$, $\beta_1 = 1.143$ und $\beta_2 = -0.428$. Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion zu: \begin{align*} H(f) = \frac{\frac{1}{16} + \frac{2}{16} \cdot e^{-2\pi i f/f_\mathrm{s}} + \frac{1}{16} \cdot e^{-4\pi i f/f_\mathrm{s}}} {1 - 1.143 \cdot e^{-2\pi i f/f_\mathrm{s}} + 0.428 \cdot e^{-4\pi i f/f_\mathrm{s}} } \ \ . \end{align*} Der gemessenene sowie der berechnete Frequenzgang sind in Abbildung \ref{fig:Ausw5_1} dargestellt. Wir bestimmen die Grenzfrequenz, bei der das gefilterte Signal um 3dB, verglichen mit dem Wert im Durchlassbereich ($f \rightarrow 0$), abgesunken ist. Wir erhalten damit eine Frequenz von: \begin{align*} f_\mathrm{g}^\mathrm{gem} = 1067 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Laut Angabe beträgt der theoretische Wert $f_\mathrm{g}^\mathrm{theo} = 1000 \mathrm{Hz}$, somit ergibt sich eine Abweichung von $6.7\%$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Tschebyscheff-Filter} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[htbp] \centering \subfigure[Messung, Bestimmung der Grenzfrequenz]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw5_2.pdf}} \subfigure[Messung, Bestimmung der Welligkeit]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw5_2welligkeit.pdf}} \\ \subfigure[Berechnung]{\includegraphics[scale=1]{Grafiken/Ausw5_2theo.pdf}} \caption{Frequenzgang des Tschebyscheff-Filters} \label{fig:Ausw5_2} \end{figure} Der Tschebyscheff-Filter hat die Parameter $\alpha_1 = 1/8$, $\alpha_0 = \alpha_2 = 1/16$, $\beta_1 = 1.532$ und $\beta_2 = -0.7094$. Die Übertragungsfunktion ist damit: \begin{align*} H(f) = \frac{\frac{1}{16} + \frac{2}{16} \cdot e^{-2\pi i f/f_\mathrm{s}} + \frac{1}{16} \cdot e^{-4\pi i f/f_\mathrm{s}}} {1 - 1.532 \cdot e^{-2\pi i f/f_\mathrm{s}} + 0.7094 \cdot e^{-4\pi i f/f_\mathrm{s}} } \ \ . \end{align*} Abbildung \ref{fig:Ausw5_2} zeigt den gemessenen und den berechneten Frequenzgang. Wir bestimmen die Grenzfrequenz zu: \begin{align*} f_\mathrm{g}^\mathrm{gem} = 976 \mathrm{Hz} \ \ . \end{align*} Mit der Angabe $f_\mathrm{g}^\mathrm{theo} = 1000 \mathrm{Hz}$ ergibt sich eine Abweichung von $2.4\%$. Im Frequenzgang des Tschebyscheff-Filters findet man vor der Grenzfrequenz einen kleinen Anstieg, bevor der Verlauf dann stark abfällt. Man bezeichnet diesen Anstieg als {\it Welligkeit} $w$, man gibt ihn als Differenz von Maximalwert und Wert im Durchlassbereich ($f \rightarrow 0$) an (siehe Abbildung \ref{fig:Ausw5_2}(b)). Wir messen einen Wert von: \begin{align*} w^\mathrm{gem} = 2.6 \mathrm{dB} \ \ . \end{align*} Verglichen mit der Angabe $w^\mathrm{theo} = 3\mathrm{dB}$ ergibt sich eine Abweichung von $14\%$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Vergleich der Filter} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Die Welligkeit des Tschebyscheff-Filters weist der Butterworth-Filter nicht auf, er ist im Druchlassbereich glatt. Dafür besitzt ersterer in der Regel einen schnelleren Abfall hinter der Grenzfrequenz. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Diskussion} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Obwohl die Durchführung des Versuchs erstens lange dauert und zweitens wenig Spannendes bietet, ist die Thematik der digitale Filterung doch recht interessant, auch weil sie große praktische Relevanz hat. Im Folgenden seien einige die Durchführung und Auswertung betreffende Dinge angesprochen. Generell wurde bei der Durchführung der Versuchsteile der Frequenzgang des jeweiligen Filters in einem Frequenzraster aufgenommen, das von uns bei sich schnell ändernden Werten entsprechend verfeinert wurde. Dennoch wären an einigen Stellen noch feinere Frequenzschritte angebracht gewesen. Bei der Bestimmung der Grenz- und Resonanzfrequenzen hätten damit noch bessere Ergebnisse erzielt werden können. Besonders in Abschnitt \ref{sec:Ausw2_3} müssen wir bei der aus den Messwerten ermittelten Grenzfrequenz eine sehr hohe Abweichung vom theoretisch berechneten Wert feststellen. In der Darstellung des Frequenzgangs (Abbildung \ref{fig:Ausw2_3}) sieht man, dass dort viel zu wenig Messwerte aufgenommen wurden, um die Frequenz bei $3\mathrm{dB}$ ablesen zu können. Generell wäre es bei der Versuchsdurchführung sinnvoll (gewesen), direkt nach der Stelle, bei der der Leistungswert um $3\mathrm{dB}$ abgefallen ist, zu suchen, anstatt dies im aufgezeichneten Frequenzgang zu tun. Auf diese Weise wären sicherlich sehr gute Resultate zu erzielen gewesen. Ebenfalls sehr große Abweichungen traten bei der Berechnung der Halbwertsbreiten in Abschnitt \ref{sec:Ausw3} auf. In diese fließt der Maximalwert des Frequenzgangs ein, und da dieser einen schwer zu findenen Peak hatte, ist der wirkliche Maximalwert wesentlich größer als der von uns aufgezeichnete, womit sich eine ebenfalls zu große Halbwertsbreite ergab. Die Auswertung der Impulsantwort lieferte hingegen gute Ergebnisse. Der Auswertungsteil \ref{sec:Ausw4} stellt rundum zufrienden. Auch der letzte Abschnitt \ref{sec:Ausw5} lieferte zufriendenstellende Ergebnisse, auch wenn die Bestimmung der Grenzfrequenz und der Welligkeit mit dem oben erwähnten Vorgehen hätte besser ausfallen können. Leider sind in den gewählten Filterparametern die Vor- und Nachteile von Butterworth- und Tschebyscheff-Filter nicht besonders gut zu erkennen. Da die Apparatur jedoch keine Filter mit höherer Ordnung als 2 ermöglicht, lässt sich hieran nichts ändern. \end{document}