\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} 

\usepackage[latin1]{inputenc} 
\usepackage{ngerman} 
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{subfigure} 
\usepackage{a4wide} 
\usepackage{esvect} 
\usepackage{pstricks} 
\usepackage{pst-plot} 
\usepackage{pstricks-add} 
\usepackage{multicol,epsf}
\usepackage{ae,aecompl}
\usepackage{helvet}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{bm}
\usepackage{bbm}
\usepackage[mathcal]{euscript}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\definecolor{linkcolor}{rgb}{0,0,0}
\hypersetup{colorlinks=true, breaklinks=true, linkcolor=linkcolor, 
						menucolor=linkcolor, urlcolor=linkcolor,
						bookmarksopen=true, bookmarksnumbered=false}

\numberwithin{equation}{section}
\numberwithin{figure}{subsection}

\pagestyle{headings} 

\begin{document}


\newcommand{\diff}[1]{ 
\, \mathrm{d} #1 \, 
}

\newcommand{\nind}[1]{ 
 n_{\mathrm{#1}}
}

\newcommand{\lind}[1]{ 
 l_{\mathrm{#1}}
}

\newcommand{\kind}[1]{ 
 k_{\mathrm{#1}}
}

\newcommand{\phiind}[1]{ 
 \phi_{\mathrm{#1}}
}

\newcommand{\divz}{ 
 \ \mathrm{div}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           Titelseite                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\normalsize
\rule{0mm}{0,4cm}
\thispagestyle{empty}

\begin{figure}[htbp]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.1]{UniGoe.png}
 \label{Georg-August-Universität Göttingen}
\end{figure}

\normalsize

\begin{center}
   \Huge 
   Versuch 215 \\[5mm]
   {\bf Akustische Eigenschwingungen von Hohlräumen}
\end{center}

\normalsize
\vspace{5mm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill {\bf Praktikum für Fortgeschrittene} \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill am Dritten Physikalischen Institut \hfill \epsfxsize=2cm}
\centerline{\epsfysize=2cm \hfill der Universität Göttingen\hfill \epsfxsize=2cm}

\vspace{10mm}

\begin{center}
	27. April 2008
\end{center}

\vspace{7mm}
\begin{center}
	\begin{tabular}{rl}
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	  {\it Praktikant	}  	\	\	& {\bf Johannes Dörr} 	 	 							\\
	  												& \href{mailto:mail@johannesdoerr.de}
	  															 {mail@johannesdoerr.de}	 			  \\
	  												& \href{http://physik.johannesdoerr.de}
	  															 {physik.johannesdoerr.de}				\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Durchführung	}	\	\	& am 06.11.2007				 	 								\\
														& zusammen mit 													\\
														& Oliver Schönborn	 										\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 			  						\\
		{\it Betreuer			}	\	\	& Dennis Kröninger		 	 								\\
	  \rule{5cm}{0mm} 				& \rule{5,5cm}{0mm} 										\\
	\end{tabular}
\end{center}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           Unterschrift                        %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\thispagestyle{empty}
\begin{center}
	\rule{0cm}{15cm} 
	\begin{tabular}{l}
	  {\it Unterschrift des Praktikanten:} \\
	  \rule{0cm}{1.5cm} \\
  	\rule{8cm}{0.3pt} \\
  	\small{Johannes Dörr - Göttingen, den 27.04.2008}
  	
  \end{tabular}
\end{center}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                       Inhaltsverzeichnis                      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\tableofcontents 

\numberwithin{figure}{subsection}
\numberwithin{table}{subsection}
	
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                           (Dokument)                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Einleitung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Mit seiner Resonanzfrequenz oder durch Anlegen von Rauschen kann 
ein Hohlraum angeregt werden, wobei sich in ihm stehende Wellen ausbilden.
In diesem Versuch wird dies mit einem quaderförmigen sowie einem kugelförmigen
Hohlraum durchgeführt, wobei die entstehenden Druckknotenflächen theoretisch
berechnet und mit einer Sonde experimentell überprüft werden. Außerdem wird
der Strömungswiderstand einer Dämpfungsfolie bestimmt.


%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Theorie}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Schallwellen}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	Das Schallfeld setzt sich aus zwei Größen zusammen: dem Schalldruck $p$
	und der Schallschnelle $\vec{v}$, wobei letztere eine vektorielle Größe
	ist. Bei Schall handelt sich (zumindest in Fluiden) es um eine Longitudinalwelle - 
	sie schwingt in Ausbreitungsrichtung, anders als bei Transversalwellen. 
	Die Schallschnelle ist nicht zu verwechseln mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$
	der Welle. Deutlich wird dies bei einer stehenden Welle: Diese hat keine
	Ausbreitungsgeschwindigkeit, dennoch bewegen sich Moleküle des Mediums
	periodisch mit der sich zeitlich ändernden Schallschnelle $\vec{v}(t)$. 
	Dadurch zwangsläufig bedingt ändert sich an einigen Stellen der Druck
	periodisch - je nachdem, ob gerade viele Moleküle zu diesem Punkt hin- oder
	wegströmen. 
	
	Allgemein geht man davon aus, dass Schalldruck und -schnelle sowie weitere
	Zustandsgrößen wie der Druck jeweils in eine zeitlich konstante und eine 
	variable Komponente aufgeteilt werden können,	sodass gilt:
  \begin{align*}
		p &= p_{0} + p_{\sim} \\
		\vec{v} &= \vec{v}_{0} + \vec{v}_{\sim} \\
		\rho &= \rho_{0} + \rho_{\sim} \ \ .
  \end{align*}  
	Dabei nimmt man die variablen Größen als wesentlich kleiner im Vergleich zu den
	konstanten an. Die Schallausbreitung in Fluiden wird beschrieben durch die folgenden
	Gleichungen. \\
	
	{\it Eulersche Gleichung:} ($\rho$ ist die Dichte des Mediums)
  \begin{align}
		\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} + \frac{1}{\rho} \nabla p = 0
	\label{eq:Eulergleichung}
  \end{align}  
  	
	{\it Kontinuitätsgleichung:}
  \begin{align}
		\divz (\rho \vec{v}) + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0
	\label{eq:Kontinuitätsgleichung}
  \end{align}  

	{\it Zustandsgleichung:} ($\kappa$ ist der Adiabatenexponent des Mediums)
  \begin{align}
		p(\rho) = \frac{p_{0}}{\rho_{0}^{\kappa}} \ \rho^{\kappa}
	\label{eq:Zustandsgleichung}
  \end{align}  
	Mit $p_{\sim} \ll p_{0}$ und $\rho_{\sim} \ll \rho_{0}$ wie oben bereits angesprochen können
	wir für \eqref{eq:Zustandsgleichung} um die Stelle $\rho_{0} $ eine Taylor-Näherung durchführen, 
	und erhalten:
  \begin{align}
		p(\rho) &= p_{0} + \kappa \ \frac{p_{0}}{\rho_{0}^{\kappa}} \ \rho_{0}^{\kappa - 1} \cdot (\rho - \rho_{0}) \notag \\
		\Leftrightarrow \ \ p_{\sim}(\rho_{\sim}) &= \kappa \ \frac{p_{0}}{\rho_{0}} \ \rho_{\sim} \label{eq:ModZustandsgleichung} \ \ .
  \end{align}	
	
	Das Schallfeld ist wirbelfrei, weshalb man ein Potential $\Phi$ einführt, aus dem
	Druck und Schnelle auf folgende Weise abgeleitet werden können:
  \begin{align}
    p_{\sim} &= \rho \ \frac{\partial \Phi}{\partial t} \label{eq:DruckAusPotential} \\
		\vec{v}_{\sim} &= -\nabla \Phi  \label{eq:GeschwAusPotential} \ \ .
  \end{align}  	
	
	
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Wellengleichung}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	Dieses Potential erfüllt die Wellengleichung:
  \begin{align}
    \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = c^2 \divz \ \nabla \Phi \ \ ,
  \label{eq:Wellengleichung}
  \end{align} 
	die sich wie folgt ableiten lässt. Zunächst gehen wir vom Ruhezustand des Fluids aus, 
	was bedeutet: $\vec{v}_{0}=0$. Damit 
	wird die Eulersche Gleichung \eqref{eq:Eulergleichung} zu 
  \begin{align}
		\frac{\partial \vec{v}_{\sim}}{\partial t} + \frac{1}{\rho_{0}} \nabla p_{\sim} = 0
	\label{eq:ModEulergleichung}
  \end{align}  
  und die Kontinuitätsgleichung zu 
  \begin{align}
		\rho_{0} \divz (\vec{v}_{\sim}) + \frac{\partial \rho_{\sim}}{\partial t} = 0 \ \ .
	\label{eq:ModKontinuitätsgleichung}
  \end{align}  
  Mit \eqref{eq:GeschwAusPotential} wird \eqref{eq:ModKontinuitätsgleichung} zu
  \begin{align*}
		\frac{1}{\rho_{0}} \frac{\partial \rho_{\sim}}{\partial t} - \divz \ \nabla \Phi = 0 \ \ ,
  \end{align*}
  darin \eqref{eq:ModZustandsgleichung} eingesetzt ergibt wiederum:
  \begin{align}
		\frac{1}{\kappa p_{0}} \frac{\partial p_{\sim}}{\partial t} - \divz \ \nabla \Phi = 0 \ \ .
	\label{eq:Mod2Kontinuitätsgleichung}
  \end{align}
  Aus \eqref{eq:ModEulergleichung} erhalten wir mit \eqref{eq:GeschwAusPotential}:
  \begin{align}
		\nabla p_{\sim} &= \rho_{0} \nabla \frac{\partial \Phi}{\partial t} \notag \\ 
		\Rightarrow \ \ p_{\sim} &= \rho_{0} \frac{\partial \Phi}{\partial t} + a \label{eq:Mod2Eulergleichung} \ \ ,
  \end{align}  
	wobei $a$ eine Konstante ist, die wir sofort durch geeignete Eichung des Potentials
	$\Phi$ eliminieren. Aus \eqref{eq:Mod2Eulergleichung} und \eqref{eq:Mod2Kontinuitätsgleichung} 
	erhalten wir:
  \begin{align*}
		\frac{\rho_{0}}{\kappa p_{0}} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} - \divz \ \nabla \Phi = 0 \ \ .
  \end{align*}
	Der Faktor $\frac{\rho_{0}}{\kappa p_{0}}$ entspricht dem Inversen der quadrierten Ausbreitungsgeschwindigkeit
	$c$, sodass man schließlich \eqref{eq:Wellengleichung} erhält. Ihre allgemeine Lösung im eindimensionalen ist:
  \begin{align*}
		\Phi(x, t) = f(x + ct) + g(x - ct) \ \ ,
  \end{align*}
	dabei sind $f$ und $g$ beliebiege (zweifach differenzierbare) Funktionen, die zwei mit der Geschwindigkeit $c$
	aufeinander zulaufende Wellen darstellen. Auf Grund des Satzes von Fourier lässt sich jede Funktion als
	Überlagerung von mehreren Sinus- und Cosinusschwingungen beschreiben. Jede einzelne löst ebenfalls die
	Wellengleichung, weshalb wir bei der Lösung konkreter Fälle (im nächsten Kapitel) einen harmonischen Ansatz 
	wählen können. 
	
	
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Rechteckhohlraum}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	Wir lösen nun die Wellengleichung für den Rechteckhohlraum in drei Dimensionen. Wir setzten mit einer harmonischen 
	Funktion an:
  \begin{align*}
		\Phi(x,y,z,t) = \phi(x,y,z) \cdot e^{i \omega t} \ \ ,
  \end{align*}
	wodurch sich die Wellengleichung zu 
  \begin{align*}
		\divz \ \nabla \phi + k^2 \phi &= 0 \\
		\Rightarrow \ \ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} 
			+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + k^2 \phi &= 0
  \end{align*}
	ergibt, wobei zwischen Wellenvektor $k$, Kreisfrequenz $\omega$ und Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ 
	gilt: $k = \frac{\omega}{c}$. Wir wählen weitergehend einen Produktansatz 
	$\phi(x,y,z) = \phiind{x}(x) \ \phiind{y}(y) \ \phiind{z}(z)$, wodurch wir drei Differenzialgleichungen erhalten:
  \begin{align*}
		\frac{\partial^2 \phiind{x}}{\partial x^2} + \kind{x}^2 \phiind{x} = 0 \ \ , \ \ \ \ \
		\frac{\partial^2 \phiind{y}}{\partial y^2} + \kind{y}^2 \phiind{y} = 0 \ \ , \ \ \ \ \
		\frac{\partial^2 \phiind{z}}{\partial z^2} + \kind{z}^2 \phiind{z} = 0 \ \ .
  \end{align*}	
  Dabei ist $\kind{i}$ mit $i=x,y,z$ die entsprechende Komponente des Wellenvektors. Jede dieser 
	Differentialgleichungen wird gelöst durch (hier exemplarisch für die Komponente $x$):
  \begin{align}
		\phiind{x}(x) = A_{\mathrm{x}} \sin(\kind{x} \cdot x) + B_{\mathrm{x}} \cos(\kind{x} \cdot x) \ \ .
	\label{eq:DiffGlLösung}
  \end{align}
	Wir gehen von schallharten Wänden des Hohlraums aus, denn die Holzwände dürften
	einen wesentlich größeren Wellenwiderstand $Z=c\rho_0$ aufweisen als die Luft.
	Dies bedeutet, dass der Schall nicht in das Grenzmedium eindringt sondern an ihm
	reflektiert wird. (Dabei findet kein Phasensprung statt. Beim Schall entspricht
	eine schallharte Begrenzung einem offenen Ende bei einer Transversalwelle, bei
	dem ebenfalls kein Phasensprung stattfindet.) Das bedeutet, dass die wandnormale Schallschnelle 
	\eqref{eq:GeschwAusPotential}	an den Wänden verschwinden muss, also 
	$\left. \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right|_{x=0, \ x=\lind{x}} = 0$ für die x-Komponente 
	usw. Die Randbedingung für $\phi$ drücken wir also wie folgt aus:
  \begin{align*}
			\left. \frac{\partial \phi}{\partial x} \right|_{x=0, \ x=\lind{x}}
		= \left. \frac{\partial \phi}{\partial y} \right|_{y=0, \ y=\lind{y}}
		= \left. \frac{\partial \phi}{\partial z} \right|_{z=0, \ z=\lind{z}}
		= 0
  \end{align*}	
	Damit wird $A_{\mathrm{x}}$ in \eqref{eq:DiffGlLösung} zu $0$ und es folgt:
  \begin{align}
		\sin(\kind{x} \lind{x}) = 0 \ \ \Rightarrow \ \ \kind{x} = \frac{n_{\mathrm{x}} \ \pi}{\lind{x}} \ \
	\label{eq:BedWellenvektor}
  \end{align}	
	sowie für die übrigen Komponenten analog. Wir erhalten also als Lösung:
  \begin{align*}
		\phi(x,y,z) = \phi_0 \cos(\kind{x} x) \cos(\kind{y} y) \cos(\kind{z} z)
  \end{align*}		
	mit der Bedingung \eqref{eq:BedWellenvektor}. Für die erlaubten Wellenvektoren $k$
	bzw. Frequenzen $f$ gilt:
  \begin{align*}
		k^2 &= \kind{x}^2 + \kind{y}^2 + \kind{z}^2 \\
		\Rightarrow \ \ f_{\nind{x}, \nind{y}, \nind{z}}^{\mathrm{res}} 
		&= \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{\nind{x}}{\lind{x}}\right)^2 + 
												 \left(\frac{\nind{y}}{\lind{y}}\right)^2 +
												 \left(\frac{\nind{z}}{\lind{z}}\right)^2}
  \end{align*}		
	Nur Schwindungen mit einer dieser Frequenzen können den Hohlraum in Resonanz versetzten, 
	wobei sich in ihm eine stehende Welle ausbildet. Das Zahlentripel $[\nind{x}, \nind{y}, \nind{z}]$
	nennt man {\it Schwingungsmode} - sie charakterisiert eine Eigenschwingung, indem sie 
	angibt, ob und wie viele Schwingungsperioden längs der jeweilige Richtung x, y und z des Hohlraums liegen.
	
	Alle Eigenfrequenzen des Hohlraums bilden im Frequenzraum ein Gitter, wobei die jeweilige
	Frequenz die Länge des Gitterpunkts zum Ursprung darstellt. Die Anzahl $N_{\mathrm{res}}$ der 
	Gitterpunkte innerhalb des Frequenzraumvolumens, das durch die Kugel mit dem Radius $f$ aufgespannt 
	wird, ist für hinreichend große $f$ proportional zu $f^3$. Die Dichte der Eigenfrequenzen 
	$\frac{\diff{N_{\mathrm{res}}}}{\diff{f}}$	wächst also mit $f^2$.
	
	Mit \eqref{eq:DruckAusPotential} erhalten wir den Druck über das Potential. Die Flächen,
	an denen der Schalldruck verschwindet, nennt man {\it Druckknotenflächen}. Um sie zu 
	bestimmen, suchen wir die Stellen, an denen eine der folgenden Bedingungen gilt: 
  \begin{align*}
		0 &= p_{\sim} = \rho \ \frac{\diff{}}{\diff{t}} \Phi = \rho \ \frac{\diff{}}{\diff{t}} \left( \phi(x,y,z) \cdot e^{i \omega t}\right) \\
		\ \ \Rightarrow \ \ 0 &= \cos(\kind{x} x) \cos(\kind{y} y) \cos(\kind{z} z) \ \ .
  \end{align*}		
	Dies ist an den Stellen der Fall, an denen gilt:
  \begin{align*}
		\kind{x} x &= \frac{\pi}{2} (2 \nind{x}' + 1) \ \ \ \ \ \mathrm{mit} \ n_x = 0,..., n_x - 1 \\
		\kind{y} y &= \frac{\pi}{2} (2 \nind{y}' + 1) \ \ \ \ \ \mathrm{mit} \ n_y = 0,..., n_y - 1 \\
		\kind{z} z &= \frac{\pi}{2} (2 \nind{z}' + 1) \ \ \ \ \ \mathrm{mit} \ n_z = 0,..., n_z - 1 \ \ .
  \end{align*}			
	Es gibt also beispielsweise so viele xy-Druckknotenflächen wie $\nind{z}$. Sie liegen alle parallel
	zu den entsprechenden Seitenwänden des Hohlraums.
	
	
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Kugelhohlraum \label{sec:Kugelhohlraum}}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	Bei der Lösung der Wellengleichung für den Kugelhohlraum bietet es sich an, 
	Kugelkoordinaten ($r$, $\varphi$, $\vartheta$) zu verwenden. Die Wellengleichung lautet dafür:
  \begin{align*}
		\frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \left[
			\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \sin \vartheta \frac{\partial \Phi}{\partial r}\right) 
			+\frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi} \right) 
			+\frac{\partial}{\partial \vartheta} \left( \sin \vartheta \frac{\partial \Phi}{\partial \vartheta} \right) 
		\right] + k^2 \Phi = 0
  \end{align*}	
	Wir verwenden auch hier einen Produktansatz $\phi(r, \varphi, \vartheta) = \phi_r(r) \cdot \phi_{\varphi, \vartheta}$.
	Man erhält als physikalisch sinnvolle Lösung:
  \begin{align*}
		\phi_r(r) = \frac{c}{\sqrt{r}} \ J_{l+\frac{1}{2}}(kr) \ \ ,
  \end{align*}	
	wobei $J_{l+\frac{1}{2}}(kr)$ eine Besselfunktion 1. Art und $l+\frac{1}{2}$-ter Ordnung ist.
	Die Randbedingung ergibt sich mit dem Kugelradius $a$ zu:
  \begin{align*}
		\left. \frac{\partial \phi}{\partial r} \right|_{r=a} &= 0 \ \ \Rightarrow \ \ 
		\left. \frac{\diff{}}{\diff{r}} \left[ \frac{c}{\sqrt{r}} \ J_{l+\frac{1}{2}}(kr) \right] \right|_{r=a} = 0 \ \ .
  \end{align*}	
	Die Werte $k_{\mathrm{l}, \mathrm{n}} \cdot a := \zeta_{\mathrm{l}, \mathrm{n}}$, die diese Gleichung erfüllen,
	können nur numerisch bestimmt oder aus einer entsprechenden Tabelle abgelesen werden. Die Resonanzfrequenz der Mode 
	$[\mathrm{l}, \mathrm{n}]$ ergibt sich dann aus:
  \begin{align*}
		f_{\mathrm{l}, \mathrm{n}}^{\mathrm{res}} = \zeta_{\mathrm{l}, \mathrm{n}} \cdot \frac{c}{2\pi a} \ \ .
  \end{align*}	
	Bei der Versuchsanordnung ist der Lautsprecher genau im Pol montiert, weshalb die Lösung
	nicht vom Azimutwinkel $\varphi$ abhängt:
  \begin{align*}
		\phi(r, \vartheta) = \frac{c}{\sqrt{r}} \ J_{l+\frac{1}{2}}(kr) \cdot P_{\mathrm{l}}(\cos \vartheta) \ \ .
  \end{align*}
  Dabei ist $P_{\mathrm{l}}$ ein Legendresches Polynom l-ter Ordnung. Innerhalb der Druckknotenflächen muss 
  $p_{\sim} = \rho \frac{\diff{}}{\diff{t}} \phi = 0$ gelten, also:
  \begin{align*}
		\frac{c}{\sqrt{r}} \ J_{l+\frac{1}{2}}(kr) \cdot P_{\mathrm{l}}(\cos \vartheta) = 0 \ \ .
  \end{align*}		
	Gelöst wird dies, wenn in einem der beiden Faktoren eine Nullstelle vorliegt. Aus diesem Grund
	gibt es im Kugelhohlraum zwei verschiedene Arten von Druckknotenflächen. 
	
	Die {\it Knotenkugeln} ($n$ Stück) kommen durch den ersten Faktor $\frac{c}{\sqrt{r}} \ J_{l+\frac{1}{2}}(kr)$ zu
	Stande. Es sind konzentrische Kugeln um den Mittelpunkt des Kugelhohlraums. Ist $l > 0$, so liegt die
	erste Knotenkugel im Mittelpunkt (r=0). Die {\it Knotenkegel} ($l$ Stück, oder
	$l/2$ Doppelkegel) stehen mit der Spitze im Mittelpunkt und schneiden die Oberfläche des Kugelhohlraums
	in Breitenkreisen. 
		
	
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Strömungswiderstand der Dämpfungsfolie}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  Die Gesamtenergie, die in dem Hohlraum gespeichert ist, ergibt sich aus der Summe der maximalen
  kinetischen Energien an allen Orten:
  \begin{align*}
		E_0 = \frac{\rho_0}{2} \int\limits_0^{\lind{x}}\int\limits_0^{\lind{y}}\int\limits_0^{\lind{z}} 
					v_{\mathrm{max}}^2(x,y,z) \diff{x} \diff{y} \diff{z}  \ \ .
  \end{align*}
  Da bei der Messung des Strömungswiderstandes der Dämpfungsfolie die $[1,0,0]$-Mode betrachtet wird,
  bewegen sich die Luftmoleküle und in x-Richtung, und es gilt für $v_{\mathrm{max}}$:
  \begin{align*}
		v_{\mathrm{max}}(x,y,z) = v_{\mathrm{max}}(x)=v_0 \sin \left( \pi \frac{x}{\lind{x}} \right) \ \ ,
  \end{align*}
  womit sich für die Gesamtenergie ergibt:
  \begin{align}
		E_0 = \frac{\rho_0}{2} \ v_0^2 \int\limits_0^{\lind{x}}\int\limits_0^{\lind{y}}\int\limits_0^{\lind{z}}
					\sin^2 \left( \pi \frac{x}{\lind{x}} \right) \diff{x} \diff{y} \diff{z} 
				= \frac{\rho_0}{2} \ v_0^2 \ V \ \ .
	\label{eq:Gesamtenergie}
  \end{align}
  
  Als {\it Resonanzgüte} $Q$ einer Resonanzkurve mit Resonanzfrequenz $f_{\mathrm{res}}$ bezeichnet man das 
  Verhältnis von der im Resonator gespeicherten Energie $E_0$ und der während der Zeit $\omega_{\mathrm{res}}^{-1}$
  durch Dämpfung aller Art verlorengegangene Energie. Mit der Verlustleistung $P_0$ ergibt sich dies zu:
  \begin{align*}
		Q = \frac{E_0}{P_0} \ \omega_{\mathrm{res}} \ \ ,
  \end{align*}
  wobei $\omega_{\mathrm{res}} = 2 \pi f_{\mathrm{res}}$ gilt. 
  
  Schiebt man eine Dämpfungsfolie in den Hohlraum, so ändert sich die Güte der Resonanzkurve, da durch die 
  Folie eine zusätzliche Verlustleistung $P_{\mathrm{F}}$ verursacht wird. Da die Folie als sehr dünn 
  angenommen wird, betrachten wir dies als einzige Auswirkung und lassen Effekte wie die Änderung
  der Resonatorenergie sowie eine eventuelle Veränderung der Leerverlustleistung $P_0$ unberücksichtigt.
  Die Resonanzgüte wird damit zu:
  \begin{align*}
		Q_{\mathrm{F}} = \frac{E_0}{P_0 + P_{\mathrm{F}}} \ \omega_{\mathrm{res}} \ \ .
  \end{align*}
  Die Verlustleistung $P_{\mathrm{F}}$ durch die Folie erhalten wir also über:
  \begin{align}
		P_{\mathrm{F}} = \omega_{\mathrm{res}} \ E_0 \ \frac{Q_0 - Q_{\mathrm{F}}}{Q_0 \ Q_{\mathrm{F}}} \ \ .
	\label{eq:VerlustLeistungFolie}
  \end{align}  
  Der Strömungswiderstand $R$ der Dämpfungsfolie ist gegeben durch:
  \begin{align*}
		v(s_{\mathrm{F}}, t) \cdot R = \Delta p(t) \ \ ,
  \end{align*}    
  wobei man annimmt, dass die Schallschnelle $v(s_{\mathrm{F}}, t)$ unmittelbar vor und hinter der Folie gleich 
  sind. Der Strömungswiderstand ist also definiert als der Quotient aus Druckgradient und 
  Strömungsgeschwindigkeit. Mit $F=p \cdot A$ für die Kraft $F$ und die Fläche $A=\lind{y}\lind{z}$ sowie $P=F \cdot v$
  für die Leistung $P$ erhalten wir für die mittlere Verlustleistung $P_{\mathrm{F}}$ der Folie:
  \begin{align*}
		P_{\mathrm{F}} = \frac{1}{T} \int\limits_0^T \lind{y}\lind{z} \cdot \Delta p(t) \cdot v(s_{\mathrm{F}}, t) \diff{t}
									 = \frac{1}{T} \int\limits_0^T \lind{y}\lind{z} \cdot R \cdot v^2(s_{\mathrm{F}}, t) \diff{t}
  \end{align*}      
  Mit $v(s_{\mathrm{F}}, t) = v_{\mathrm{max}}(s_{\mathrm{F}}) \cdot \sin(\omega t) = 
   v_0 \sin (\pi \frac{x}{\lind{x}}) \cdot \sin(\omega t)$ ergibt sich:
  \begin{align*}
		P_{\mathrm{F}} &= \lind{y}\lind{z} R v_0^2 \sin^2 \left(\pi \frac{x}{\lind{x}}\right) \frac{1}{T} \int\limits_0^T \sin^2(\omega t) \\
									 &= \frac{1}{2} \lind{y}\lind{z} R v_0^2 \sin^2 \left(\pi \frac{x}{\lind{x}}\right)
  \end{align*}     
	Mit \eqref{eq:Gesamtenergie} und \eqref{eq:VerlustLeistungFolie} erhalten wir schließlich für den
	Strömungswiderstand $R$ der Dämpfungsfolie:
  \begin{align*}
		R = \frac{\pi f^{\mathrm{res}} \ \lind{x} }{\sin^2 ( \pi s_{\mathrm{F}} / \lind{x} ) \ c} 
				\cdot \frac{Q_0 - Q_{\mathrm{F}}(s_{\mathrm{F}})}{Q_0 \ Q_{\mathrm{F}}(s_{\mathrm{F}})}
  \end{align*}  
  in Vielfachen des Wellenwiderstands $\rho_0 c$ der Luft.


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Durchführung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
	\begin{enumerate}
		\item Zunächst erfolgt die Vorbereitung des Versuchs, dies schließt die
					Kalibrierung des Schwebungssummers, sowie die Messung der
					Raumtemperatur mit ein.
		\item Anschließend werden die Eigenfrequenzen des leeren
					Rechteckhohlraums und des Kugelhohlraums bestimmt. Hierzu
					werden sie mit dem Lautsprecher angeregt und die Schwingungen
					mit Mikrophon sowie Messverstärker empfangen.
		\item Als nächstes werden die Schallfelder in leerem Rechteckhohlraum
					und Kugelhohlraum ausgemessen, mit gerader bzw. gebogener
					Sonde und Hörmuschel oder Mikrophon für die ersten Eigenfrequenzen.
		\item Nun erfolgt die Anregung des leeren Rechteckhohlraums mit 
					Rauschen. Dieses wird mit Sonde und Hörmuschel empfangen. 
					Qualitativ festzustellen und zu beschreiben ist die Verfärbung an 
					unterschiedlichen Orten des Sondenendes im Hohlraum.
		\item Zuletzt werden die Resonanzkurven im Rechteckhohlraum für die 
					Frequenzbereiche unterschiedlicher Moden, der 100, 110
					und 200-Mode gemessen. Der Frequenzbereich jeder Mode 
					wird nicht nur im leeren Hohlraum, sondern auch nach Einbringen 
					der verschiebbaren Dämpfungsfolie in den Hohlraum bei
					verschiedenen Folienabständen von der Seitenwand gemessen.
					Dabei sollte der Einfluss der Übertragungsfunktion des Systems 
					Lautsprecher-Mikrophon unbedingt beachtet werden.
  \end{enumerate}

  Das Mikrofon ist am besten in einem Schnellebauch zu positionieren, da sich seine Membran mit 
  dem Schall bewegt. Dasselbe gilt für die Anbringung des Lautsprechers.


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Auswertung \label{sec:Ausw}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Eigenfrequenzen des Rechteckhohlraums}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	Tabelle \ref{tab:Ausw1} zeigt sowohl die gemessenen als auch die 
	berechneten Eigenfrequenzen des Rechteckhohlraums. Einige 
	Schwingungsmoden konnten jedoch experimentell nicht ermittelt
	werden, da die jeweilige Resonanzfrequenz zu dicht an selbiger der 
	benachbarten Mode liegt. An diesen Stellen ist nur der theoretische
	Wert aufgeführt. Diese errechnen sich mit:
  \begin{align*}
		f_{\nind{x}, \nind{y}, \nind{z}}^{\mathrm{res}} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{\nind{x}}{\lind{x}}\right)^2 +
																													 \left(\frac{\nind{y}}{\lind{y}}\right)^2 + 
																													 \left(\frac{\nind{z}}{\lind{z}}\right)^2 } \ \ 
  \end{align*}  
	mit der Schallgeschwindigkeit $c$ und den Längenangaben $\lind{x}=0.352\mathrm{m}$, $\lind{y}=0.211\mathrm{m}$
	und $\lind{z}=0.14\mathrm{m}$. Die Schallgeschwindigkeit $c$ ergibt sich aus der gemessenen Temperatur
	$T=21.8^{\circ}=294.8\mathrm{K}$ und der Geschwindigkeit $c_0=344\mathrm{ms}^{-1}$ bei $T_0=20^{\circ}=293\mathrm{K}$,
	jeweils eingesetzt in die Formel:
  \begin{align*}
		c = c(T) = c_0 \sqrt{TT_0^{-1}} \ \ .
  \end{align*}  	
	An dieser Stelle überprüfen wir, wir stark sich eine eventuelle Temperaturänderung während
	des Versuchs auswirkt: Eine Änderung um zwei Grad ausgehend von $20^{\circ}$ führt zu einer Abweichung der 
	Schallgeschwindigkeit	um knapp $0.4\%$. Bei der Bestimmung einer Resonanzfrequenz im Bereich von 
	$2000\mathrm{Hz}$ bedeutete dies eine Ungenauigkeit des Wertes von weniger als 0.8Hz.
	
	\begin{table}[htbp] 
	\begin{center}
		\begin{tabular}{l|lll}
		  {\bf Mode} & \multicolumn{2}{l}{{\bf Resonanzfrequenz} in Hz} & {\bf Abweichung} \\
		  			    & (berechnet)  & (gemessen) \\
		  \hline
		  (100) & 490.1  & 484.2  & 1.2\%  \\
		  (010) & 817.7  & 802.6  & 1.8\%  \\
		  (110) & 953.3  & 960.6  & 0.8\%  \\
		  (200) & 980.3  & --		  & --		 \\
		  (001) & 1232.3 & 1229.6 & 0.2 \% \\
		  (210) & 1276.5 & 1253.6 & 1.8\%  \\
		  (101) & 1326.2 & 1318.6 & 0.6\%  \\
		  (300) & 1470.4 & 1458.6 & 0.8\%  \\
		  (011) & 1478.9 & --			& --		 \\
		  (111) & 1558.0 & 1532.6 & 1.6\%  \\
		  (201) & 1574.7 & 1602.6 & 1.7\%  \\
		  (020) & 1635.3 & 1655.6 & 1.2\%  \\
		  (310) & 1682.5 & 1673.6 & 0.5\%  \\
		  (120) & 1707.2 & -- 		& --		 \\
		  (211) & 1774.3 & 1783.6 & 0.5\%  \\
		  (220) & 1906.6 & 1894.6 & 0.6\%  \\
		  (301) & 1918.5 & 1934.6 & 0.8\%  \\
		  (400) & 1960.5 & -- 		& --  	 \\
		  (021) & 2047.7 & --			& --	   \\
		  (410) & 2124.2 & --			& -- 		 \\
		  (320) & 2199.2 & --			& --		 \\
		  (002) & 2464.7 & --			& --		 
	  \end{tabular}
	\end{center}
	\caption{Eigenfrequenzen des Rechteckhohlraums}
  \label{tab:Ausw1} 
	\end{table}

	Bedingt durch die sich im Resonanzfall ausbildende stehende Welle
	entstehen im Hohlraum Druckknotenpunkte, an denen sich der Druck zeitlich nicht
	ändert, der Schall dieser Frequenz also nicht wahrgenommen werden kann. 
	Der Klangeindruck ändert sich auf Grund dieses Wegfalls einer Frequenz 
	an den entsprechenden Stellen im Hohlraum.
	
	Diese Druckknotenpunkte bilden zu den Seitenwänden parallele Ebenen und konnten
	während des Versuchs mit der Sonde gut nachvollzogen werden.


  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Eigenfrequenzen des Kugelhohlraums}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	Für den Kugelhohlraum sind in Tabelle \ref{tab:Ausw2} die
	theoretischen und gemessenen Resonanzfrequenzen aufgelistet. Die
	theoretischen Werte ergeben sich aus:
  \begin{align*}
		f_{\mathrm{l}, \mathrm{n}}^{\mathrm{res}} = \zeta_{\mathrm{l}, \mathrm{n}} \cdot \frac{c}{2\pi a} \ \ .
  \end{align*}  
	Dabei ist $a=0.171\mathrm{m}$ der Radius des Kugelhohlraums und $\zeta_{\mathrm{n}, \mathrm{l}}$ die Nullstelle, 
	die wir aus der dem Versuch beigelegten Tabelle entnehmen (siehe Kapitel \ref{sec:Kugelhohlraum}).
	
	\begin{table}[htbp] 
	\begin{center}
		\begin{tabular}{l|lll}
		  {\bf Mode} & \multicolumn{2}{l}{{\bf Resonanzfrequenz} in Hz} & {\bf Abweichung} \\
		  			    & (berechnet)  & (gemessen) \\
		  \hline
		  (11) & 668.5  & 671.6 & 0.5\% 	\\
		  (21) & 1073.3 & 1069.6 & 0.4\% \\
		  (01) & 1443.1 & 1437.6 & 0.4\% \\
		  (31) & 1449.7 & --		 & --  		\\
		  (41) & 1813.5 & 1800.6 & 0.7\%	\\
		  (12) & 1907.7 & 1908.6 & 0.04\%	
	  \end{tabular}
	\end{center}
	\caption{Eigenfrequenzen des Kugelhohlraums}
  \label{tab:Ausw2} 
	\end{table}
	
	Wie im Rechteckhohlraum bilden sich auch hier Druckknotenflächen, allerdings
	haben diese eine gekrümmte Form, wie in Kapitel \ref{sec:Kugelhohlraum} beschrieben.
	Die experimentelle Ausmessung erwies sich jedoch als schwierig, obwohl wir einige 
	Flächen mit der Sonde abfahren konnten.
	
	
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Resonanzkurven im Rechteckhohlraum}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	In diesem Versuchsteil wurden die Resonanzkurven der (100)-Mode im Frequenzbereich
	von 478-494Hz, sowie die (110)- und (200)-Mode, deren Resonanzfrequenzen im Bereich
	763-955Hz liegen, aufgezeichnet. Wichtig
	bei der Darstellung ist erstens der eingestellte Verstärkungsfaktor des Messgeräts
	während der Durchführung sowie die Übertragungsfunktion des Systems Lautsprecher-Mikrofon.
	
	Für Letzteres nähern wir die Übertragungsfunktion zunächst linear um die Resonanzfrequenz
	für die (100)-Mode bzw. einen Wert zwischen den beiden Resonanzfrequenzen der (110)- bzw.
	der (200)-Mode an. Dies ist in Tabelle \ref{tab:Ausw3} dargestellt.
	
	\begin{table}[htbp] 
	\begin{center}
		\begin{tabular}{l|ll|l}
		  {\bf Mode}			 & {\bf Resonanzfrequenz} & {\bf Wert der Über-}	   & {\bf Linearisierung} \\
		  					 			 & (berechnet) in Hz			& {\bf tragungsfkt.} in dB & x in kHz, y in dB	  \\
		  \hline 
		  (100) 		 			 & 490.1  							  & -8.8 										 & $y(x) = 20x - 19.2$  \\
		  (110), (200) 		 & 953.3, 980.3					  & -2.3, 2.1								 & $y(x) = 4x - 5.6	$	
	  \end{tabular}
	\end{center}
	\caption{Linearisierung der Übertragungsfunktion für Lautsprecher-Mikrofon}
  \label{tab:Ausw3} 
	\end{table}
	
	Abbildung \ref{fig:Mode100} zeigt die Resonanzkurve sowohl ohne als auch mit
	Dämpfungsfolie an verschiedenen Stellen. 
	
	\begin{figure}[htbp]
	 \centering
	 \includegraphics[scale=1]{Grafiken/Mode100.pdf}
	 \caption{Resonanzkurve für den Bereich der (100)-Mode}
	 \label{fig:Mode100}
 	\end{figure}
	
	Bei der Aufzeichnung der Resonanzkurve für die (110)- und (200)-Mode sind uns leider 
	scheinbar ein paar große Fehler unterlaufen. Abbildung \ref{fig:Mode110_ohne} zeigt die
	Werte für den leeren Hohlraum. Dort ist seltsamerweise kein zweiter Peak zu sehen,
	was eigentlich der Fall sein müsste, denn in disem Bereich liegen zwei Resonanzfälle.
	Da der hier zu sehende Peak ungefähr zwischen den Resonanzfrequenzen liegt, ist davon 
	auszugehen, dass die beiden Maxima zusammenfallen. Warum dies so ist, können wir nicht
	sagen, denn die Messwerte wurden in 1Hz-Schritten aufgenommen, was eigentlich genügen
	müsste, um beide Resonanzfälle trennen zu können. 

	\begin{figure}[htbp]
	 \centering
	 \includegraphics[scale=1]{Grafiken/Mode110_ohne.pdf}
	 \caption{Resonanzkurve für den Bereich der (110)- und (200)-Mode im leeren Hohlraum (leider ist kein zweites Maximum zu sehen)}
	 \label{fig:Mode110_ohne}
 	\end{figure}
	
	\begin{figure}[htbp]
	 \centering
	 \includegraphics[scale=1]{Grafiken/Mode010.pdf}
	 \caption{Versentlich aufgenommene Resonanzkurve für den Bereich der (010)-Mode}
	 \label{fig:Mode010}
 	\end{figure}
	
	Auch die Resonanzkurven mit Folie sind nicht verwertbar: Dass wir keine zwei Peaks
	im leeren Hohlraum auffinden konnten, hat uns während des Versuchs ein wenig ins
	Rätseln gebracht und letztlich dazu geführt, dass wir versehentlich eine Resonanzkurve
	für die (010)-Mode aufgenommen haben. Diese ist in Abbildung \ref{fig:Mode010} gezeigt.
	
	Wir betrachten nun die Halbwertsbreiten $\Delta f_{1/2}$ der aufgezeichneten Resonanzkurven unter
	beachtung der Position der Dämpfungsfolie.
	
	\begin{table}[htbp] 
	\begin{center}
		\begin{tabular}{l|llll}
		  								 					& {\bf (ohne)} 	& {\bf 5cm}	   & {\bf 6cm}	& {\bf 7cm} \\
		  \hline 
		  $f^{\mathrm{res}}$ & 484.2Hz  			& 490Hz 		 	 & 488Hz			&	482Hz	\\	
		  $\Delta f_{1/2}$ 					& 6(2)Hz  			& 38(2)Hz 		 & 50(2)Hz		&	51(2)Hz			
	  \end{tabular}
	\end{center}
	\caption{Halbwertsbreiten für verschiedene Folienpositionen}
  \label{tab:Ausw4} 
	\end{table}
	
	Wir gehen bei den Angaben von einem Messfehler von 2Hz aus.
	
	\begin{figure}[htbp]
	 \centering
	 \includegraphics[scale=1]{Grafiken/Mode100_breiten.pdf}
	 \caption{Halbwertsbreite der Resonanzkurve in Abhängigkeit von der Position der Dämpfungsfolie}
	 \label{fig:Mode100_breiten}
 	\end{figure}
	
	Die beobachtete Zunahme der Halbwertsbreite bei Bewegung der Dämpfungsfolie zur Mitte
	des Kastens hin ist bei der (100) Mode leicht nachzuvollziehen. In der Mitte der Kastens 
	liegt auf	Grund seiner schallharten Wände ein Druckknoten, also eine Schnellebauch. 
	Wäre die Dämpfungsfolie genau dort platziert, so läge maximale Dämpfung vor. Zu
	den Enden hin nimmt sie ab, bis ganz an der Wand durch die Folie keine Dämpfung mehr 
	erzeugt wird, denn dort ruht die Luft. Durch starke Dämpfung wird die Resonanzkurve
	flacher (ihre Güte nimmt ab), wie in Abbildung \ref{fig:Mode100} gut zu sehen ist.
	
	Die Veränderung der Resonanzkurve bei der (010)-Mode (Abb. \ref{fig:Mode010}) ist dadurch nicht 
	zu erklären, denn die Folienposition wurde nur in x-Richtung verändert, in der sich jedoch
	keine stehende Welle ausgebildet hat.
	
	Beispielsweise bei der (200)-Mode liegt in der Mitte ein Schnelleknoten - die dort
	hingeschobene Folie würde also in dieser Mode keine Dämpfung verursachen, jedoch sehr wohl
	an der Viertel- oder Dreiviertelposition.
	
	
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\subsection{Strömungswiderstand der Folie}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	Mit den Messwerten der (100)-Mode können wir nun den Strömungswiderstand $R$ der verwendeten
	Dämpfungsfolie bestimmen. Dieser ergibt sich aus:
  \begin{align*}
		R = \frac{\pi f^{\mathrm{res}} \ \lind{x} }{\sin^2 ( \pi s_{\mathrm{F}} / \lind{x} ) \ c} 
				\cdot \frac{Q_0 - Q_{\mathrm{F}}(s_{\mathrm{F}})}{Q_0 \ Q_{\mathrm{F}}(s_{\mathrm{F}})}
  \end{align*}  
  in Vielfachen des Wellenwiderstands $Z_0=c \rho_0$ der Luft.
	Dabei ist $s_{\mathrm{F}}$ die Position der Folie. Die Güte der Resonanz ohne Folie $Q_0$
	bzw. mit Folie $Q_{\mathrm{F}}(s_{\mathrm{F}})$ errechnet sich aus der jeweiligen 
	Resonanzfrequenz und Halbwertsbreite mit:
  \begin{align*}
		Q = \frac{f^{\mathrm{res}}}{\Delta f_{1/2}} \ \ .
  \end{align*}  
	Wir erhalten dafür mit den Werten aus Tabelle \ref{tab:Ausw4}:
	\begin{center}
		\begin{tabular}{ll}
		  $Q_0$ 																					& = 80.4 \\
		  $Q_{\mathrm{F}}(s_{\mathrm{F}}=5\mathrm{cm})$		& = 12.9 \\
		  $Q_{\mathrm{F}}(s_{\mathrm{F}}=6\mathrm{cm})$		& = 9.8  \\
		  $Q_{\mathrm{F}}(s_{\mathrm{F}}=7\mathrm{cm})$		& = 9.4 
	  \end{tabular}
	\end{center}
 	Mit $\lind{x}=0.352\mathrm{m}$ erhalten
 	wir für den Strömungswiderstand der Folie:
	\begin{center}
		\begin{tabular}{l|l}
		  $s_{\mathrm{F}}=5\mathrm{cm}$		& $R = 0.55 \cdot Z_0$ \\
		  $s_{\mathrm{F}}=6\mathrm{cm}$		& $R = 0.54 \cdot Z_0$ \\
		  $s_{\mathrm{F}}=7\mathrm{cm}$		& $R = 0.43 \cdot Z_0$
	  \end{tabular}
	\end{center}
 	Diese Ergebnisse können nicht stimmen, denn der Strömungswiderstand der Dämpfungsfolie
 	müsste größer sein als der der Luft.
 	
 	
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Diskussion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dieser Versuch stand leider offenbar unter keinem guten Stern. Während der Durchführung
für die (110)- und (200)-Mode passierte uns ein gravierender Fehler, wie in der Auswertung 
beschrieben wurde. Und auch bei der Bestimmung des Strömungswiederstands der Folie 
konnten wir keinen Erfolg verzeichnen, da dieser unmöglich keiner als der der Luft sein kann.
Es war uns leider nicht möglich, den Fehler hierfür ausfindig zu machen. Einzig die Tatsache, 
dass sich der errechnete Widerstand bei verschiedenen Folienpositionen nur wenig ändert 
(idealerweise wären die Werte natürlich konstant), gibt einen Hinweis darauf, dass der Fehler 
wohl eher in der Rechnung zu suchen ist als bei der Aufzeichnung der Messwerte. Für Hinweise
wären wir sehr dankbar.

Der Versuch an sich ist sehr lehrreich mit etwas anspruchsvollerer Theorie, besonders beim
Kugelhohlraum, wenn man mit der Besselfunktion nicht vertraut ist.
  
\end{document}